Страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

258 Постройте график функции:

a) $y = -x^2 - 2x + 1;$

б) $y = 2x^2 - 4x + 6;$

в) $y = x^2 - x + 2;$

г) $y = 2x^2 + 8x.$

Указание. Приведите формулу к виду $y = a(x + p)^2 + q.$

а) Для построения графика функции $y = -x^2 - 2x + 1$ приведем ее к виду $y = a(x+p)^2+q$, выделив полный квадрат.
$y = -x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x) + 1$
Чтобы в скобках получился полный квадрат, добавим и вычтем 1:
$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -((x + 1)^2 - 1) + 1 = -(x + 1)^2 + 1 + 1 = -(x + 1)^2 + 2$
Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = -x^2$ сдвигом на 1 единицу влево по оси абсцисс и на 2 единицы вверх по оси ординат.
Основные характеристики для построения:
1. Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, 2)$.
3. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.
4. Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 0$, $y = -0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- Точка, симметричная $(0, 1)$ относительно оси $x=-1$, — это точка $(-2, 1)$.
- При $x = 1$, $y = -(1)^2 - 2(1) + 1 = -2$. Точка $(1, -2)$.
Ответ: График функции $y = -x^2 - 2x + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-1, 2)$ и ветвями, направленными вниз. Ключевые точки для построения: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(-2, 1)$, $(1, -2)$.

б) Для построения графика функции $y = 2x^2 - 4x + 6$ выделим полный квадрат.
$y = 2(x^2 - 2x) + 6$
Добавим и вычтем 1 в скобках:
$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 6 = 2((x - 1)^2 - 1) + 6 = 2(x - 1)^2 - 2 + 6 = 2(x - 1)^2 + 4$
Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = 2x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вверх.
Основные характеристики для построения:
1. Коэффициент $a = 2 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке $(1, 4)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 1$.
4. Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
- Точка, симметричная $(0, 6)$ относительно оси $x=1$, — это точка $(2, 6)$.
Ответ: График функции $y = 2x^2 - 4x + 6$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 4)$ и ветвями, направленными вверх. Ключевые точки для построения: $(1, 4)$, $(0, 6)$, $(2, 6)$.

в) Для построения графика функции $y = x^2 - x + 2$ выделим полный квадрат.
$y = (x^2 - x) + 2$
Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем $(1/2)^2 = 1/4$:
$y = (x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 2 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$
Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на $1/2$ единицы вправо и на $7/4$ единицы вверх.
Основные характеристики для построения:
1. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$ или $(0.5, 1.75)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 1/2$.
4. Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 0$, $y = 0^2 - 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
- Точка, симметричная $(0, 2)$ относительно оси $x=1/2$, — это точка $(1, 2)$.
Ответ: График функции $y = x^2 - x + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$ и ветвями, направленными вверх. Ключевые точки для построения: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$, $(0, 2)$, $(1, 2)$.

г) Для построения графика функции $y = 2x^2 + 8x$ выделим полный квадрат.
$y = 2(x^2 + 4x)$
Добавим и вычтем 4 в скобках:
$y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) = 2((x + 2)^2 - 4) = 2(x + 2)^2 - 8$
Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = 2x^2$ сдвигом на 2 единицы влево и на 8 единиц вниз.
Основные характеристики для построения:
1. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке $(-2, -8)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = -2$.
4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- При $y = 0$, $2x^2 + 8x = 0 \Rightarrow 2x(x+4) = 0$, откуда $x_1=0, x_2=-4$. Точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.
Ответ: График функции $y = 2x^2 + 8x$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, -8)$ и ветвями, направленными вверх. Ключевые точки для построения: $(-2, -8)$, $(0, 0)$, $(-4, 0)$.

Ищем способ решения (259–260)

259 В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = |x|$, $y = |x| - 2$, $y = |x - 2|$;

б) $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x - 4}$, $y = \sqrt{x} - 4$;

в) $y = x^3$, $y = x^3 + 2$, $y = (x + 2)^3$.

а) Для построения графиков функций $y = |x|$, $y = |x| - 2$ и $y = |x - 2|$ будем использовать метод преобразования графиков.

1. Базовый график: $y = |x|$. Это график модуля, который представляет собой две линии, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. График функции $y = |x| - 2$: Этот график получается из графика $y = |x|$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Каждая точка графика $y = |x|$ смещается на 2 вниз. Вершина нового графика будет в точке $(0, -2)$.

3. График функции $y = |x - 2|$: Этот график получается из графика $y = |x|$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 2 единицы вправо. Каждая точка графика $y = |x|$ смещается на 2 вправо. Вершина нового графика будет в точке $(2, 0)$.

Таким образом, все три графика имеют одинаковую V-образную форму, но с разными вершинами.

Ответ: В одной системе координат строятся три графика. Первый, $y = |x|$, — "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$. Второй, $y = |x| - 2$, — такая же "галочка", но смещенная на 2 единицы вниз, с вершиной в $(0, -2)$. Третий, $y = |x - 2|$, — такая же "галочка", но смещенная на 2 единицы вправо, с вершиной в $(2, 0)$.

б) Для построения графиков функций $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x} - 4$ и $y = \sqrt{x - 4}$ также используем преобразования.

1. Базовый график: $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$. Область определения функции: $x \ge 0$.

2. График функции $y = \sqrt{x} - 4$: Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Начальная точка графика смещается из $(0, 0)$ в $(0, -4)$. Область определения остается $x \ge 0$.

3. График функции $y = \sqrt{x - 4}$: Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 4 единицы вправо по оси $Ox$. Начальная точка графика смещается из $(0, 0)$ в $(4, 0)$. Область определения функции: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

Все три графика являются ветвями параболы, но начинаются в разных точках.

Ответ: В одной системе координат строятся три графика. Первый, $y = \sqrt{x}$, — ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0, 0)$. Второй, $y = \sqrt{x} - 4$, — такой же график, но смещенный на 4 единицы вниз, его начальная точка — $(0, -4)$. Третий, $y = \sqrt{x - 4}$, — такой же график, но смещенный на 4 единицы вправо, его начальная точка — $(4, 0)$.

в) Для построения графиков функций $y = x^3$, $y = x^3 + 2$ и $y = (x + 2)^3$ используем преобразования.

1. Базовый график: $y = x^3$. Это кубическая парабола, проходящая через начало координат, которое является точкой перегиба. График симметричен относительно начала координат. Проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

2. График функции $y = x^3 + 2$: Этот график получается из графика $y = x^3$ путем сдвига на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Точка перегиба смещается из $(0, 0)$ в $(0, 2)$.

3. График функции $y = (x + 2)^3$: Этот график получается из графика $y = x^3$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси $Ox$. Точка перегиба смещается из $(0, 0)$ в $(-2, 0)$.

Все три графика — кубические параболы одинаковой формы, но с разным положением центра симметрии (точки перегиба).

Ответ: В одной системе координат строятся три кубические параболы. Первая, $y = x^3$, проходит через начало координат $(0, 0)$. Вторая, $y = x^3 + 2$, — такая же кривая, но смещенная на 2 единицы вверх; ее точка перегиба находится в $(0, 2)$. Третья, $y = (x + 2)^3$, — такая же кривая, но смещенная на 2 единицы влево; ее точка перегиба находится в $(-2, 0)$.

260 На рисунке 2.33 изображён график функции $y = f(x)$. Перенесите рисунок в тетрадь и в той же системе координат постройте график функции:

а) $y = f(x) + 4$;

б) $y = f(x + 3)$.

261 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^2 + 1, \text{ если } x \ge 0 \\ -x^2 - 1, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2-x^2, \text{ если } x < 0 \end{cases}$

Рис. 2.33

260

a) Для построения графика функции $y = f(x) + 4$ необходимо выполнить преобразование исходного графика $y = f(x)$. Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси ординат $Oy$. Поскольку к значению функции прибавляется положительное число 4, сдвиг выполняется вверх на 4 единицы. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0, y_0 + 4)$. Например, проанализируем перемещение ключевых точек с исходного графика: точка $(0, -2)$ перейдет в точку $(0, -2 + 4) = (0, 2)$; точка $(1, 0)$ перейдет в точку $(1, 0 + 4) = (1, 4)$; точка $(4, 2)$ перейдет в точку $(4, 2 + 4) = (4, 6)$. Таким образом, новый график будет иметь ту же форму, что и исходный, но будет смещен на 4 единицы вверх.

Ответ: График функции $y = f(x) + 4$ получается путем сдвига графика функции $y = f(x)$ на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

б) Для построения графика функции $y = f(x + 3)$ необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс $Ox$. Поскольку к аргументу $x$ прибавляется положительное число 3, сдвиг выполняется влево на 3 единицы. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0 - 3, y_0)$. Например, проанализируем перемещение ключевых точек: точка $(0, -2)$ перейдет в точку $(0 - 3, -2) = (-3, -2)$; точка $(1, 0)$ перейдет в точку $(1 - 3, 0) = (-2, 0)$; точка $(4, 2)$ перейдет в точку $(4 - 3, 2) = (1, 2)$. Таким образом, новый график будет иметь ту же форму, что и исходный, но будет смещен на 3 единицы влево.

Ответ: График функции $y = f(x + 3)$ получается путем сдвига графика функции $y = f(x)$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

261

a) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Для построения ее графика необходимо построить график каждой части на соответствующем промежутке.

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y = x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Поскольку условие $x \ge 0$, мы строим только правую ветвь этой параболы, включая точку $(0, 1)$. Контрольные точки: $(1, 1^2+1=2)$, $(2, 2^2+1=5)$.

2. При $x < 0$ строим график функции $y = -x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, смещенная на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Поскольку условие $x < 0$, мы строим только левую ветвь этой параболы. Точка $(0, -1)$ не принадлежит графику, поэтому ее отмечают выколотой (пустым кружком). Контрольные точки: $(-1, -(-1)^2-1=-2)$, $(-2, -(-2)^2-1=-5)$.

Итоговый график состоит из двух этих ветвей.

Ответ: График функции состоит из двух частей: правой ветви параболы $y=x^2+1$ с вершиной в точке $(0, 1)$ для $x \ge 0$ и левой ветви параболы $y=-x^2-1$ с выколотой вершиной в точке $(0, -1)$ для $x < 0$.

б) Условие задачи для этого пункта представлено не полностью. Видна только часть определения функции: $y = 2 - x^2$, если $x < 0$. Для полного построения графика необходимо знать, как функция определяется при $x \ge 0$.

Можно построить ту часть графика, которая задана. Для $x < 0$ строим график функции $y = 2 - x^2$. Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 2)$. Так как $x < 0$, мы строим только левую ветвь параболы. Точка $(0, 2)$ не принадлежит этой части графика, поэтому она будет выколотой. Контрольные точки: $(-1, 2-(-1)^2=1)$, $(-2, 2-(-2)^2=-2)$.

Ответ: Построить полный график функции невозможно, так как ее определение неполное. Для $x < 0$ график является левой ветвью параболы $y = 2 - x^2$ с выколотой точкой в $(0, 2)$.

261 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 1, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2 - x^2, & \text{если } x < 0 \\ x^2 - 2, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < -1 \\ 2x^2 - 1, & \text{если } |x| \le 1 \\ x, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} -(x + 3)^2, & \text{если } x < -3 \\ 0, & \text{если } |x| \le 3 \\ (x - 3)^2, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

Рис. 2.33

а) Чтобы построить график данной кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$, рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^2 + 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Поскольку мы рассматриваем промежуток $x \ge 0$, нам нужна только правая ветвь этой параболы, включая ее вершину. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x=2$, $y = 2^2 + 1 = 5$. Точка $(2, 5)$ принадлежит графику.

2. На промежутке $x < 0$ функция задается формулой $y = -x^2 - 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Ее можно получить из параболы $y = -x^2$ сдвигом на 1 единицу вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Поскольку мы рассматриваем промежуток $x < 0$, нам нужна только левая ветвь этой параболы. Точка $(0, -1)$ не принадлежит этой части графика, поэтому ее отмечают выколотой (пустым кружком). Для построения найдем еще одну точку, например, при $x=-2$, $y = -(-2)^2 - 1 = -5$. Точка $(-2, -5)$ принадлежит графику.

Соединив эти две части, мы получаем итоговый график.

Ответ: График состоит из двух непересекающихся ветвей парабол. Первая — правая ветвь параболы $y = x^2 + 1$ с вершиной в точке $(0, 1)$. Вторая — левая ветвь параболы $y = -x^2 - 1$, которая приближается к выколотой точке $(0, -1)$.

б) Чтобы построить график функции $y = \begin{cases} 2 - x^2, & \text{если } x < 0 \\ x^2 - 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$, рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $x < 0$ функция задается формулой $y = 2 - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 2)$. Мы строим только левую часть этой параболы (для $x < 0$). Точка $(0, 2)$ не принадлежит этой части графика и является выколотой. Возьмем контрольную точку: при $x = -2$, $y = 2 - (-2)^2 = 2 - 4 = -2$. Точка $(-2, -2)$ принадлежит графику.

2. На промежутке $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^2 - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -2)$. Мы строим только правую часть этой параболы (для $x \ge 0$), включая вершину. Возьмем контрольную точку: при $x = 2$, $y = 2^2 - 2 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.

Объединив обе части, получаем итоговый график.

Ответ: График состоит из двух непересекающихся ветвей парабол. Первая — левая ветвь параболы $y = 2 - x^2$, приближающаяся к выколотой точке $(0, 2)$. Вторая — правая ветвь параболы $y = x^2 - 2$ с вершиной в точке $(0, -2)$.

в) Чтобы построить график функции $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < -1 \\ 2x^2 - 1, & \text{если } |x| \le 1 \\ x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$, разобьем ее на три участка.

1. На промежутке $x < -1$ строим график линейной функции $y = x + 2$. Это прямая. Для построения луча найдем его конечную точку (выколотую) и еще одну точку. При $x = -1$, $y = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ — выколотая. При $x = -3$, $y = -3 + 2 = -1$. Строим луч, проходящий через $(-3, -1)$ и заканчивающийся в $(-1, 1)$.

2. На промежутке $|x| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le x \le 1$, строим график функции $y = 2x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы в точке $(0, -1)$. Найдем значения на концах отрезка: при $x=-1$, $y=2(-1)^2-1=1$; при $x=1$, $y=2(1)^2-1=1$. Таким образом, мы строим участок параболы между точками $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ (включительно), проходящий через вершину $(0, -1)$.

3. На промежутке $x > 1$ строим график линейной функции $y = x$. Это прямая. Строим луч, начинающийся в выколотой точке $(1, 1)$ и проходящий, например, через точку $(2, 2)$.

Заметим, что в точках $x = -1$ и $x = 1$ части графика стыкуются. В точке $x=-1$ первая часть заканчивается, а вторая начинается в точке $(-1, 1)$. В точке $x=1$ вторая часть заканчивается, а третья начинается в точке $(1, 1)$. Таким образом, график является непрерывной линией.

Ответ: График представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: луча прямой $y=x+2$ до точки $(-1, 1)$, участка параболы $y=2x^2-1$ от $(-1, 1)$ до $(1, 1)$, и луча прямой $y=x$ от точки $(1, 1)$.

г) Чтобы построить график функции $y = \begin{cases} -(x+3)^2, & \text{если } x < -3 \\ 0, & \text{если } |x| \le 3 \\ (x-3)^2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$, рассмотрим три участка.

1. На промежутке $x < -3$ строим график функции $y = -(x+3)^2$. Это парабола, полученная сдвигом параболы $y = -x^2$ на 3 единицы влево. Ее вершина находится в точке $(-3, 0)$, ветви направлены вниз. Мы строим левую ветвь этой параболы, при этом точка $(-3, 0)$ выколота. Возьмем контрольную точку: при $x=-4$, $y=-(-4+3)^2=-1$.

2. На промежутке $|x| \le 3$, то есть $-3 \le x \le 3$, функция равна $y = 0$. Графиком является отрезок оси абсцисс от точки $(-3, 0)$ до точки $(3, 0)$ включительно.

3. На промежутке $x > 3$ строим график функции $y = (x-3)^2$. Это парабола, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 3 единицы вправо. Ее вершина находится в точке $(3, 0)$, ветви направлены вверх. Мы строим правую ветвь этой параболы, при этом точка $(3, 0)$ выколота. Возьмем контрольную точку: при $x=4$, $y=(4-3)^2=1$.

В точках $x = -3$ и $x = 3$ части графика стыкуются в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ соответственно, образуя непрерывную линию.

Ответ: График является непрерывной линией, состоящей из левой ветви параболы $y=-(x+3)^2$ (для $x<-3$), отрезка оси Ох от $x=-3$ до $x=3$, и правой ветви параболы $y=(x-3)^2$ (для $x>3$).

262 Исследуем

1) Сравните значения функции $y = x^2 + 1$ при $x = -3$ и $x = 3$, при $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$, при $x = -100$ и $x = 100$. Какое свойство этой функции вы обнаружили? Обладает ли этим свойством функция $y = (x + 1)^2$? $y = x^2 + x$?

2) Функцию $y = f(x)$ называют чётной, если её область определения симметрична относительно начала координат и при любом значении $x$ из области определения $f(-x) = f(x)$. Так, функция $y = x^2 + 1$ чётная, а функции $y = (x + 1)^2$ и $y = x^2 + x$ чётными не являются. Придумайте свои примеры чётных функций.

3) Каким свойством обладает график чётной функции? Начертите в системе координат какую-нибудь линию, которая может служить графиком чётной функции.

1) Сравним значения функции $y = x^2 + 1$ для заданных пар значений аргумента $x$.

Для пары $x = -3$ и $x = 3$:
Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.
Если $x = 3$, то $y = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.
Значения функции в этих точках равны: $y(-3) = y(3)$.

Для пары $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$:
Если $x = -\frac{1}{2}$, то $y = (-\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
Если $x = \frac{1}{2}$, то $y = (\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
Значения функции в этих точках равны: $y(-\frac{1}{2}) = y(\frac{1}{2})$.

Для пары $x = -100$ и $x = 100$:
Если $x = -100$, то $y = (-100)^2 + 1 = 10000 + 1 = 10001$.
Если $x = 100$, то $y = 100^2 + 1 = 10000 + 1 = 10001$.
Значения функции в этих точках равны: $y(-100) = y(100)$.

Мы обнаружили свойство, что для противоположных значений аргумента ($x$ и $-x$) значения функции $y = x^2 + 1$ совпадают. Это свойство называется чётностью функции. Для чётной функции $f(x)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения.

Теперь проверим, обладают ли этим свойством функции $y = (x + 1)^2$ и $y = x^2 + x$.

Для функции $y = (x + 1)^2$:
Пусть $f(x) = (x + 1)^2$. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x + 1)^2 = (1 - x)^2$.
Сравним $f(x)$ и $f(-x)$. В общем случае $(x + 1)^2 \neq (1 - x)^2$. Например, при $x=1$:
$f(1) = (1 + 1)^2 = 4$
$f(-1) = (-1 + 1)^2 = 0$
Так как $f(1) \neq f(-1)$, эта функция не является чётной.

Для функции $y = x^2 + x$:
Пусть $g(x) = x^2 + x$. Найдём $g(-x)$: $g(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$.
Сравним $g(x)$ и $g(-x)$. В общем случае $x^2 + x \neq x^2 - x$. Например, при $x=1$:
$g(1) = 1^2 + 1 = 2$
$g(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$
Так как $g(1) \neq g(-1)$, эта функция также не является чётной.

Ответ: Для всех заданных пар противоположных значений $x$ значения функции $y = x^2 + 1$ равны. Это свойство называется чётностью функции ($f(-x) = f(x)$). Функции $y = (x + 1)^2$ и $y = x^2 + x$ этим свойством не обладают.

2) Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Примеры чётных функций:

• $y = x^6$. В общем виде, любая степенная функция с чётным показателем $y = x^{2n}$, где $n$ — целое число.
• $y = |x|$ (модуль $x$), так как $|-x| = |x|$.
• $y = \cos(x)$, так как по определению косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$.
• $y = 7x^4 - x^2 + 3$. Любой многочлен, который содержит только чётные степени переменной $x$ (включая константу, которую можно представить как $3x^0$), является чётной функцией.
• $y = \frac{1}{x^2+4}$, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+4} = \frac{1}{x^2+4} = f(x)$.

Ответ: Примеры чётных функций: $y = x^6$, $y = |x|$, $y = \cos(x)$, $y = 7x^4 - x^2 + 3$.

3) Основное свойство графика чётной функции следует напрямую из её определения $f(-x) = f(x)$.

Это равенство означает, что если точка с координатами $(x, y)$ лежит на графике функции, то и точка с координатами $(-x, y)$ также обязательно лежит на этом графике. Пара точек $(x, y)$ и $(-x, y)$ симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$).
Таким образом, график чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Чтобы начертить линию, которая может служить графиком чётной функции, достаточно нарисовать любую кривую и затем отразить её зеркально относительно оси $Oy$.

Например, можно начертить линию, которая проходит через последовательность точек $(-5, 2)$, $(-3, -1)$, $(0, 3)$, $(3, -1)$, $(5, 2)$. Эта линия будет симметрична относительно оси $Oy$, так как для каждой точки $(x, y)$ на ней есть соответствующая точка $(-x, y)$. Классическими примерами графиков чётных функций являются парабола $y = x^2$ или график $y = \cos(x)$.

Ответ: График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Любая линия в системе координат, обладающая такой симметрией, может служить графиком некоторой чётной функции.