Страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

234 Задайте формулой параболу, изображённую на рисунке 2.27, а—г, если известно, что она получена сдвигом вдоль оси y параболы:

a) $y = x^2$; б) $y = \frac{1}{2}x^2$; в) $y = -2x^2$; г) $y = -x^2$.

г) Рис. 2.27

а)

Парабола на рисунке получена сдвигом одной из исходных парабол вдоль оси ординат ($y$). Общий вид уравнения такой параболы — $y = ax^2 + k$, где $(0, k)$ — координаты вершины.

На графике а) ветви параболы направлены вверх, что означает, что коэффициент $a$ положителен ($a>0$). Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Это означает, что парабола была сдвинута на 2 единицы вверх по оси $y$, следовательно, $k=2$. Уравнение параболы принимает вид $y = ax^2 + 2$.

Из предложенных вариантов с $a>0$ подходят $y = x^2$ и $y = \frac{1}{2}x^2$. Чтобы выбрать верный, подставим координаты контрольной точки с графика, например $(1, 3)$, в каждое из уравнений сдвинутых парабол:

1. Для исходной параболы $y=x^2$ уравнение после сдвига: $y = x^2 + 2$. При $x=1$ получаем $y = 1^2 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$ принадлежит графику, что соответствует рисунку.

2. Для исходной параболы $y=\frac{1}{2}x^2$ уравнение после сдвига: $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$. При $x=1$ получаем $y=\frac{1}{2}(1)^2+2=2.5$. Эта точка не соответствует графику.

Следовательно, парабола на рисунке а) получена сдвигом параболы $y=x^2$.

Ответ: $y = x^2 + 2$

б)

Парабола на графике б) имеет ветви, направленные вверх ($a>0$), а ее вершина находится в точке $(0, -1)$. Это означает, что исходная парабола была сдвинута на 1 единицу вниз по оси $y$, то есть $k=-1$. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 - 1$.

Возможные исходные параболы: $y = x^2$ и $y = \frac{1}{2}x^2$. Для проверки возьмем с графика контрольную точку $(2, 1)$ и подставим ее координаты в уравнения сдвинутых парабол:

1. Для $y=x^2$ сдвинутая парабола: $y = x^2 - 1$. При $x=2$ получаем $y = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ не лежит на графике.

2. Для $y=\frac{1}{2}x^2$ сдвинутая парабола: $y = \frac{1}{2}x^2 - 1$. При $x=2$ получаем $y = \frac{1}{2}(2)^2 - 1 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$ лежит на графике, что соответствует рисунку.

Таким образом, парабола на рисунке б) получена сдвигом параболы $y=\frac{1}{2}x^2$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x^2 - 1$

в)

Парабола на графике в) имеет ветви, направленные вниз ($a<0$), а ее вершина находится в точке $(0, 4)$. Это означает, что исходная парабола была сдвинута на 4 единицы вверх по оси $y$, то есть $k=4$. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + 4$.

Из предложенных вариантов с $a<0$ подходят $y = -2x^2$ и $y = -x^2$. Для проверки возьмем с графика контрольную точку $(1, 2)$ и подставим ее координаты в уравнения сдвинутых парабол:

1. Для $y=-2x^2$ сдвинутая парабола: $y = -2x^2 + 4$. При $x=1$ получаем $y = -2(1)^2 + 4 = -2 + 4 = 2$. Точка $(1, 2)$ лежит на графике, что соответствует рисунку.

2. Для $y=-x^2$ сдвинутая парабола: $y = -x^2 + 4$. При $x=1$ получаем $y = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$. Точка $(1, 3)$ не лежит на графике.

Следовательно, парабола на рисунке в) получена сдвигом параболы $y=-2x^2$.

Ответ: $y = -2x^2 + 4$

г)

Парабола на графике г) имеет ветви, направленные вниз ($a<0$), а ее вершина находится в точке $(0, -3)$. Это означает, что исходная парабола была сдвинута на 3 единицы вниз по оси $y$, то есть $k=-3$. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 - 3$.

Возможные исходные параболы: $y = -2x^2$ и $y = -x^2$. Для проверки возьмем с графика контрольную точку $(1, -4)$ и подставим ее координаты в уравнения сдвинутых парабол:

1. Для $y=-2x^2$ сдвинутая парабола: $y = -2x^2 - 3$. При $x=1$ получаем $y = -2(1)^2 - 3 = -2 - 3 = -5$. Точка $(1, -5)$ не лежит на графике.

2. Для $y=-x^2$ сдвинутая парабола: $y = -x^2 - 3$. При $x=1$ получаем $y = -(1)^2 - 3 = -1 - 3 = -4$. Точка $(1, -4)$ лежит на графике, что соответствует рисунку.

Таким образом, парабола на рисунке г) получена сдвигом параболы $y=-x^2$.

Ответ: $y = -x^2 - 3$

235 Назовите координаты вершины параболы:

а) $y = x^2 + 10;$

б) $y = 0,5x^2 - 3;$

в) $y = -\frac{1}{4}x^2 - 1,5;$

г) $y = -10x^2 + 1,2;$

д) $y = 2x^2 - 4,8;$

е) $y = -3x^2 + 2.$

Координаты вершины параболы, заданной уравнением в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формулам: абсцисса вершины $x_v = -\frac{b}{2a}$ и ордината вершины $y_v = y(x_v)$, которая вычисляется подстановкой $x_v$ в исходное уравнение.

Все представленные в задаче уравнения имеют вид $y = ax^2 + c$, что является частным случаем общего уравнения, где коэффициент при $x$ в первой степени $b=0$. Найдем координаты вершины для каждой параболы.

а) Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 + 10$.

Это уравнение квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны $a = 1$, $b = 0$ и $c = 10$.

Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Подставим значения коэффициентов:

$x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Ординату вершины $y_v$ найдем, подставив $x_v = 0$ в исходное уравнение:

$y_v = (0)^2 + 10 = 0 + 10 = 10$.

Таким образом, координаты вершины параболы: $(0; 10)$.

Ответ: $(0; 10)$

б) Рассмотрим уравнение параболы $y = 0,5x^2 - 3$.

В данном случае коэффициенты: $a = 0,5$, $b = 0$ и $c = -3$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$.

Ордината вершины: $y_v = 0,5(0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3$.

Координаты вершины параболы: $(0; -3)$.

Ответ: $(0; -3)$

в) Рассмотрим уравнение параболы $y = -\frac{1}{4}x^2 - 1,5$.

Здесь коэффициенты: $a = -\frac{1}{4}$, $b = 0$ и $c = -1,5$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = 0$.

Ордината вершины: $y_v = -\frac{1}{4}(0)^2 - 1,5 = 0 - 1,5 = -1,5$.

Координаты вершины параболы: $(0; -1,5)$.

Ответ: $(0; -1,5)$

г) Рассмотрим уравнение параболы $y = -10x^2 + 1,2$.

Коэффициенты: $a = -10$, $b = 0$ и $c = 1,2$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-10)} = 0$.

Ордината вершины: $y_v = -10(0)^2 + 1,2 = 0 + 1,2 = 1,2$.

Координаты вершины параболы: $(0; 1,2)$.

Ответ: $(0; 1,2)$

д) Рассмотрим уравнение параболы $y = 2x^2 - 4,8$.

Коэффициенты: $a = 2$, $b = 0$ и $c = -4,8$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$.

Ордината вершины: $y_v = 2(0)^2 - 4,8 = 0 - 4,8 = -4,8$.

Координаты вершины параболы: $(0; -4,8)$.

Ответ: $(0; -4,8)$

е) Рассмотрим уравнение параболы $y = -3x^2 + 2$.

Коэффициенты: $a = -3$, $b = 0$ и $c = 2$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$.

Ордината вершины: $y_v = -3(0)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$.

Координаты вершины параболы: $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$

236 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4;$
б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3;$
в) $y = -x^2 + 1;$
г) $y = -2x^2 - 1.$

Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания, а также наибольшее (или наименьшее) значение.

а) $y = x^2 - 4$

График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола. Её можно построить, сдвинув график базовой параболы $y = x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси OY. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -4)$. Осью симметрии является ось OY. Для более точного построения найдем несколько точек: при $x=0$, $y=-4$; при $x=\pm 1$, $y=1^2-4=-3$; при $x=\pm 2$, $y=2^2-4=0$. Соединив эти точки плавной линией, получим график.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины. Абсцисса вершины равна 0. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет точку минимума в своей вершине. Наименьшее значение функции равно ординате вершины: $y_{наим} = -4$. Наибольшего значения у функции не существует.

Ответ: промежуток возрастания: $[0, +\infty)$, промежуток убывания: $(-\infty, 0]$, наименьшее значение: $-4$.

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$

График функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$ — это парабола. Её можно получить из графика $y = x^2$ двумя преобразованиями: сжатием к оси OY в 2 раза (или растяжением от оси OX в $\frac{1}{2}$ раза) и последующим сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси OY. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2} > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Осью симметрии является ось OY. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=3$; при $x=\pm 2, y=\frac{1}{2}(2)^2+3=5$; при $x=\pm 4, y=\frac{1}{2}(4)^2+3=11$.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=0$. Так как ветви направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции равно $y_{наим} = 3$. Наибольшего значения не существует, так как функция неограниченно возрастает.

Ответ: промежуток возрастания: $[0, +\infty)$, промежуток убывания: $(-\infty, 0]$, наименьшее значение: $3$.

в) $y = -x^2 + 1$

График функции $y = -x^2 + 1$ — это парабола. Её можно получить из графика $y = x^2$ отражением относительно оси OX и последующим сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Осью симметрии является ось OY. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=1$; при $x=\pm 1, y=-(\pm 1)^2+1=0$; при $x=\pm 2, y=-(\pm 2)^2+1=-3$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от нее. Абсцисса вершины $x=0$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет точку максимума в своей вершине. Наибольшее значение функции равно $y_{наиб} = 1$. Наименьшего значения у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$, промежуток убывания: $[0, +\infty)$, наибольшее значение: $1$.

г) $y = -2x^2 - 1$

График функции $y = -2x^2 - 1$ — это парабола. Её можно получить из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями: растяжением вдоль оси OY в 2 раза, отражением относительно оси OX и сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Осью симметрии является ось OY. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=-1$; при $x=\pm 1, y=-2(\pm 1)^2-1=-3$; при $x=\pm 2, y=-2(\pm 2)^2-1=-9$.

Ветви параболы направлены вниз, вершина в точке с абсциссой $x=0$. Это означает, что функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Наибольшее значение функции равно $y_{наиб} = -1$. Наименьшего значения не существует, так как функция неограниченно убывает.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$, промежуток убывания: $[0, +\infty)$, наибольшее значение: $-1$.