Номер 236, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 236, страница 98.

236 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4;$
б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3;$
в) $y = -x^2 + 1;$
г) $y = -2x^2 - 1.$

Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания, а также наибольшее (или наименьшее) значение.

а) $y = x^2 - 4$

График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола. Её можно построить, сдвинув график базовой параболы $y = x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси OY. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -4)$. Осью симметрии является ось OY. Для более точного построения найдем несколько точек: при $x=0$, $y=-4$; при $x=\pm 1$, $y=1^2-4=-3$; при $x=\pm 2$, $y=2^2-4=0$. Соединив эти точки плавной линией, получим график.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины. Абсцисса вершины равна 0. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет точку минимума в своей вершине. Наименьшее значение функции равно ординате вершины: $y_{наим} = -4$. Наибольшего значения у функции не существует.

Ответ: промежуток возрастания: $[0, +\infty)$, промежуток убывания: $(-\infty, 0]$, наименьшее значение: $-4$.

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$

График функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$ — это парабола. Её можно получить из графика $y = x^2$ двумя преобразованиями: сжатием к оси OY в 2 раза (или растяжением от оси OX в $\frac{1}{2}$ раза) и последующим сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси OY. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2} > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Осью симметрии является ось OY. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=3$; при $x=\pm 2, y=\frac{1}{2}(2)^2+3=5$; при $x=\pm 4, y=\frac{1}{2}(4)^2+3=11$.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=0$. Так как ветви направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции равно $y_{наим} = 3$. Наибольшего значения не существует, так как функция неограниченно возрастает.

Ответ: промежуток возрастания: $[0, +\infty)$, промежуток убывания: $(-\infty, 0]$, наименьшее значение: $3$.

в) $y = -x^2 + 1$

График функции $y = -x^2 + 1$ — это парабола. Её можно получить из графика $y = x^2$ отражением относительно оси OX и последующим сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Осью симметрии является ось OY. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=1$; при $x=\pm 1, y=-(\pm 1)^2+1=0$; при $x=\pm 2, y=-(\pm 2)^2+1=-3$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от нее. Абсцисса вершины $x=0$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет точку максимума в своей вершине. Наибольшее значение функции равно $y_{наиб} = 1$. Наименьшего значения у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$, промежуток убывания: $[0, +\infty)$, наибольшее значение: $1$.

г) $y = -2x^2 - 1$

График функции $y = -2x^2 - 1$ — это парабола. Её можно получить из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями: растяжением вдоль оси OY в 2 раза, отражением относительно оси OX и сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Осью симметрии является ось OY. Для построения найдем несколько точек: при $x=0, y=-1$; при $x=\pm 1, y=-2(\pm 1)^2-1=-3$; при $x=\pm 2, y=-2(\pm 2)^2-1=-9$.

Ветви параболы направлены вниз, вершина в точке с абсциссой $x=0$. Это означает, что функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Наибольшее значение функции равно $y_{наиб} = -1$. Наименьшего значения не существует, так как функция неограниченно убывает.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$, промежуток убывания: $[0, +\infty)$, наибольшее значение: $-1$.