Номер 237, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 237, страница 99.

237 Постройте график функции:

a) $y = x^2 - 1$;

б) $y = -x^2 + 9$;

в) $y = \frac{1}{2} x^2 + 2$;

г) $y = -\frac{1}{2} x^2 + 8$.

а) $y = x^2 - 1$

График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола. Для её построения можно использовать метод преобразования графика базовой функции $y = x^2$.

1. Построение базового графика. Строим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

2. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y = x^2 - 1$, необходимо сдвинуть график $y = x^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

3. Нахождение ключевых точек.

• Вершина параболы: Вершина базовой параболы $(0, 0)$ смещается на 1 единицу вниз и становится точкой $(0, -1)$.
• Ось симметрии: Ось симметрии не изменяется и остается прямой $x = 0$ (ось $Oy$).
• Пересечение с осями координат:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
  • С осью $Ox$: при $y=0$, получаем уравнение $x^2 - 1 = 0$. Отсюда $x^2 = 1$, и корни $x = 1$, $x = -1$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Таблица значений для построения:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y=x^2-1$	3	0	-1	0	3

Соединив эти точки плавной кривой, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями, направленными вверх. График получен сдвигом параболы $y = x^2$ на 1 единицу вниз.

б) $y = -x^2 + 9$

График функции $y = -x^2 + 9$ — это парабола. Построим её, преобразовав график функции $y = -x^2$.

1. Построение базового графика. Строим график функции $y = -x^2$. Это парабола, полученная отражением графика $y = x^2$ относительно оси $Ox$. Её вершина находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вниз.

2. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y = -x^2 + 9$, необходимо сдвинуть график $y = -x^2$ на 9 единиц вверх вдоль оси $Oy$.

3. Нахождение ключевых точек.

• Вершина параболы: Вершина базовой параболы $(0, 0)$ смещается на 9 единиц вверх и становится точкой $(0, 9)$.
• Ось симметрии: Ось симметрии — прямая $x = 0$.
• Пересечение с осями координат:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -0^2 + 9 = 9$. Точка пересечения — $(0, 9)$.
  • С осью $Ox$: при $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + 9 = 0$. Отсюда $x^2 = 9$, и корни $x = 3$, $x = -3$. Точки пересечения — $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Таблица значений для построения:

$x$	-3	-2	0	2	3
$y=-x^2+9$	0	5	9	5	0

Соединив точки, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 9$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 9)$ и ветвями, направленными вниз. График получен сдвигом параболы $y = -x^2$ на 9 единиц вверх.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$

График функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ — это парабола. Построим её путем преобразования графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$.

1. Построение базового графика. Строим график функции $y = \frac{1}{2}x^2$. Это парабола, полученная из $y = x^2$ путем вертикального сжатия в 2 раза (она шире, чем $y=x^2$). Вершина находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх.

2. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$, необходимо сдвинуть график $y = \frac{1}{2}x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

3. Нахождение ключевых точек.

• Вершина параболы: Вершина базовой параболы $(0, 0)$ смещается на 2 единицы вверх и становится точкой $(0, 2)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = 0$.
• Пересечение с осями координат:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.
  • С осью $Ox$: при $y=0$, получаем $\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0$, или $x^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней, значит, график не пересекает ось $Ox$.

4. Таблица значений для построения:

$x$	-4	-2	0	2	4
$y=\frac{1}{2}x^2+2$	10	4	2	4	10

Соединив точки, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вверх. График получен сдвигом параболы $y = \frac{1}{2}x^2$ на 2 единицы вверх.

г) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$

График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ — это парабола. Построим её путем преобразования графика функции $y = -\frac{1}{2}x^2$.

1. Построение базового графика. Строим график функции $y = -\frac{1}{2}x^2$. Это парабола, полученная отражением $y = \frac{1}{2}x^2$ относительно оси $Ox$. Она шире, чем $y=-x^2$. Вершина находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вниз.

2. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$, необходимо сдвинуть график $y = -\frac{1}{2}x^2$ на 8 единиц вверх вдоль оси $Oy$.

3. Нахождение ключевых точек.

• Вершина параболы: Вершина базовой параболы $(0, 0)$ смещается на 8 единиц вверх и становится точкой $(0, 8)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = 0$.
• Пересечение с осями координат:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.
  • С осью $Ox$: при $y=0$, получаем $-\frac{1}{2}x^2 + 8 = 0$, или $x^2 = 16$. Корни $x = 4$ и $x = -4$. Точки пересечения — $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

4. Таблица значений для построения:

$x$	-4	-2	0	2	4
$y=-\frac{1}{2}x^2+8$	0	6	8	6	0

Соединив точки, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 8)$ и ветвями, направленными вниз. График получен сдвигом параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$ на 8 единиц вверх.