Номер 234, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 234, страница 98.

234 Задайте формулой параболу, изображённую на рисунке 2.27, а—г, если известно, что она получена сдвигом вдоль оси y параболы:

a) $y = x^2$; б) $y = \frac{1}{2}x^2$; в) $y = -2x^2$; г) $y = -x^2$.

a) б) в)

г) Рис. 2.27

а)

Парабола на рисунке получена сдвигом одной из исходных парабол вдоль оси ординат ($y$). Общий вид уравнения такой параболы — $y = ax^2 + k$, где $(0, k)$ — координаты вершины.

На графике а) ветви параболы направлены вверх, что означает, что коэффициент $a$ положителен ($a>0$). Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Это означает, что парабола была сдвинута на 2 единицы вверх по оси $y$, следовательно, $k=2$. Уравнение параболы принимает вид $y = ax^2 + 2$.

Из предложенных вариантов с $a>0$ подходят $y = x^2$ и $y = \frac{1}{2}x^2$. Чтобы выбрать верный, подставим координаты контрольной точки с графика, например $(1, 3)$, в каждое из уравнений сдвинутых парабол:

1. Для исходной параболы $y=x^2$ уравнение после сдвига: $y = x^2 + 2$. При $x=1$ получаем $y = 1^2 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$ принадлежит графику, что соответствует рисунку.

2. Для исходной параболы $y=\frac{1}{2}x^2$ уравнение после сдвига: $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$. При $x=1$ получаем $y=\frac{1}{2}(1)^2+2=2.5$. Эта точка не соответствует графику.

Следовательно, парабола на рисунке а) получена сдвигом параболы $y=x^2$.

Ответ: $y = x^2 + 2$

б)

Парабола на графике б) имеет ветви, направленные вверх ($a>0$), а ее вершина находится в точке $(0, -1)$. Это означает, что исходная парабола была сдвинута на 1 единицу вниз по оси $y$, то есть $k=-1$. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 - 1$.

Возможные исходные параболы: $y = x^2$ и $y = \frac{1}{2}x^2$. Для проверки возьмем с графика контрольную точку $(2, 1)$ и подставим ее координаты в уравнения сдвинутых парабол:

1. Для $y=x^2$ сдвинутая парабола: $y = x^2 - 1$. При $x=2$ получаем $y = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ не лежит на графике.

2. Для $y=\frac{1}{2}x^2$ сдвинутая парабола: $y = \frac{1}{2}x^2 - 1$. При $x=2$ получаем $y = \frac{1}{2}(2)^2 - 1 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$ лежит на графике, что соответствует рисунку.

Таким образом, парабола на рисунке б) получена сдвигом параболы $y=\frac{1}{2}x^2$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x^2 - 1$

в)

Парабола на графике в) имеет ветви, направленные вниз ($a<0$), а ее вершина находится в точке $(0, 4)$. Это означает, что исходная парабола была сдвинута на 4 единицы вверх по оси $y$, то есть $k=4$. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + 4$.

Из предложенных вариантов с $a<0$ подходят $y = -2x^2$ и $y = -x^2$. Для проверки возьмем с графика контрольную точку $(1, 2)$ и подставим ее координаты в уравнения сдвинутых парабол:

1. Для $y=-2x^2$ сдвинутая парабола: $y = -2x^2 + 4$. При $x=1$ получаем $y = -2(1)^2 + 4 = -2 + 4 = 2$. Точка $(1, 2)$ лежит на графике, что соответствует рисунку.

2. Для $y=-x^2$ сдвинутая парабола: $y = -x^2 + 4$. При $x=1$ получаем $y = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$. Точка $(1, 3)$ не лежит на графике.

Следовательно, парабола на рисунке в) получена сдвигом параболы $y=-2x^2$.

Ответ: $y = -2x^2 + 4$

г)

Парабола на графике г) имеет ветви, направленные вниз ($a<0$), а ее вершина находится в точке $(0, -3)$. Это означает, что исходная парабола была сдвинута на 3 единицы вниз по оси $y$, то есть $k=-3$. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 - 3$.

Возможные исходные параболы: $y = -2x^2$ и $y = -x^2$. Для проверки возьмем с графика контрольную точку $(1, -4)$ и подставим ее координаты в уравнения сдвинутых парабол:

1. Для $y=-2x^2$ сдвинутая парабола: $y = -2x^2 - 3$. При $x=1$ получаем $y = -2(1)^2 - 3 = -2 - 3 = -5$. Точка $(1, -5)$ не лежит на графике.

2. Для $y=-x^2$ сдвинутая парабола: $y = -x^2 - 3$. При $x=1$ получаем $y = -(1)^2 - 3 = -1 - 3 = -4$. Точка $(1, -4)$ лежит на графике, что соответствует рисунку.

Таким образом, парабола на рисунке г) получена сдвигом параболы $y=-x^2$.

Ответ: $y = -x^2 - 3$