Номер 227, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 227, страница 89.

227 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Длина окружности $l$ вычисляется по формуле $l = 2\pi r$, а площадь круга $S$ — по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус. Постройте график зависимости:

а) длины окружности от радиуса;

б) площади круга от радиуса. (Считайте, что $\pi \approx 3$.)

а) длины окружности от радиуса;

Зависимость длины окружности $l$ от ее радиуса $r$ выражается формулой $l = 2\pi r$.

В условии задачи дано приближенное значение $\pi \approx 3$. Подставим его в формулу:

$l = 2 \cdot 3 \cdot r$

$l = 6r$

Мы получили функцию $l(r) = 6r$. Это функция прямой пропорциональности, её график — прямая линия, проходящая через начало координат. В качестве независимой переменной (аргумента) выступает радиус $r$, а в качестве зависимой переменной (функции) — длина окружности $l$.

Поскольку радиус не может быть отрицательной величиной ($r \ge 0$), то график будет расположен только в первой координатной четверти и будет представлять собой луч, выходящий из начала координат.

Для построения графика достаточно найти координаты двух точек. Одну точку мы уже знаем — это начало координат (0; 0).

Найдем вторую точку, взяв произвольное положительное значение $r$, например, $r=2$:

$l = 6 \cdot 2 = 12$

Получаем точку с координатами (2; 12).

Теперь можно построить график: на оси абсцисс откладываем значения радиуса $r$, а на оси ординат — значения длины окружности $l$. Отмечаем точки (0; 0) и (2; 12) и проводим через них луч, начинающийся в точке (0; 0).

Ответ: График зависимости длины окружности от радиуса — это луч, выходящий из начала координат (0; 0) и проходящий через точку (2; 12). Функция зависимости: $l = 6r$.

б) площади круга от радиуса.

Зависимость площади круга $S$ от его радиуса $r$ выражается формулой $S = \pi r^2$.

Используя приближение $\pi \approx 3$, получаем формулу:

$S = 3r^2$

Мы получили функцию $S(r) = 3r^2$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $r^2$ (равный 3) положительный, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат (0; 0), так как при $r=0$, $S=0$.

Как и в предыдущем пункте, радиус не может быть отрицательным ($r \ge 0$), поэтому мы будем строить только правую ветвь параболы, расположенную в первой координатной четверти.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, подставляя различные значения $r$ в формулу $S = 3r^2$:

При $r=0$, $S = 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0; 0).

При $r=1$, $S = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка (1; 3).

При $r=2$, $S = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Точка (2; 12).

При $r=3$, $S = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27$. Точка (3; 27).

На координатной плоскости откладываем по оси абсцисс радиус $r$, а по оси ординат — площадь $S$. Отмечаем вычисленные точки (0; 0), (1; 3), (2; 12), (3; 27) и соединяем их плавной кривой.

Ответ: График зависимости площади круга от радиуса — это ветвь параболы с вершиной в начале координат (0; 0), проходящая через точки (1; 3) и (2; 12). Функция зависимости: $S = 3r^2$.