Номер 222, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 222, страница 88.

222 В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$;

в) $y = -0.5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$;

г) $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

а) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = \frac{1}{2}x + 1$

1. Построим график функции $y = \frac{1}{2}x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Для построения найдем несколько точек:
при $x = 0, y = 0$;
при $x = 1, y = 0.5$;
при $x = -1, y = 0.5$;
при $x = 2, y = 2$;
при $x = -2, y = 2$.

2. Построим график функции $y = \frac{1}{2}x + 1$. Это прямая. Для построения достаточно двух точек:
при $x = 0, y = 1$;
при $x = -2, y = 0$.

3. Найдем координаты точек пересечения, решив систему уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:
$\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x + 1$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:
$x^2 = x + 2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

4. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в любое из исходных уравнений (например, в $y = \frac{1}{2}x^2$):
При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.
Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(2, 2)$ и $(-1, 0.5)$.

Ответ: $(2; 2)$ и $(-1; 0.5)$.

б) $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$

1. Построим график функции $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$.
Точки для построения: $(0, 0), (1, 2), (-1, 2), (1.5, 4.5), (-1.5, 4.5)$.

2. Построим график функции $y = -2x + 4$. Это прямая.
Точки для построения: $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

3. Найдем координаты точек пересечения, приравняв правые части уравнений:
$2x^2 = -2x + 4$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = -x + 2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

4. Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 2(1)^2 = 2$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Точки пересечения: $(1, 2)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: $(1; 2)$ и $(-2; 8)$.

в) $y = -0.5x^2$ и $y = \frac{4}{x}$

1. Построим график функции $y = -0.5x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$.
Точки для построения: $(0, 0), (1, -0.5), (-1, -0.5), (2, -2), (-2, -2)$.

2. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Точки для построения: $(1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1)$.

3. Найдем координаты точек пересечения. Область определения $x \neq 0$.
$-0.5x^2 = \frac{4}{x}$
Умножим обе части на $x$:
$-0.5x^3 = 4$
Умножим обе части на -2:
$x^3 = -8$
Извлечем кубический корень:
$x = \sqrt[3]{-8} = -2$.

4. Найдем соответствующее значение $y$:
При $x = -2$, $y = \frac{4}{-2} = -2$.
Точка пересечения: $(-2, -2)$.

Ответ: $(-2; -2)$.

г) $y = -2x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$

1. Построим график функции $y = -2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$.
Точки для построения: $(0, 0), (1, -2), (-1, -2), (0.5, -0.5), (-0.5, -0.5)$.

2. Построим график функции $y = -\frac{2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.
Точки для построения: $(1, -2), (2, -1), (-1, 2), (-2, 1)$.

3. Найдем координаты точек пересечения. Область определения $x \neq 0$.
$-2x^2 = -\frac{2}{x}$
Разделим обе части на -2:
$x^2 = \frac{1}{x}$
Умножим обе части на $x$:
$x^3 = 1$
Извлечем кубический корень:
$x = 1$.

4. Найдем соответствующее значение $y$:
При $x = 1$, $y = -2(1)^2 = -2$.
Точка пересечения: $(1, -2)$.

Ответ: $(1; -2)$.