Номер 218, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. График и свойства функции у=ах^2. Глава 2. Квадратичная функция - номер 218, страница 87.

218 1) Постройте график функции $y = -\frac{1}{5}x^2$.

2) Какие из точек (10; -20), (-5; -5), $(\frac{1}{5}; -1)$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{20})$ принадлежат графику этой функции? Запишите координаты ещё каких-либо двух точек, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

3) Укажите наибольшее и наименьшее значения этой функции на промежутке $[-2; 6]$, на промежутке $[-5; 5]$.

1) График функции $y = -\frac{1}{5}x^2$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен $-\frac{1}{5}$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Для построения графика найдём координаты нескольких точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:

$x$	0	2	-2	5	-5
$y = -\frac{1}{5}x^2$	0	-0,8	-0,8	-5	-5

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Она проходит через точки $(5; -5)$ и $(-5; -5)$.

2) Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, подставим её координаты $(x; y)$ в уравнение $y = -\frac{1}{5}x^2$ и проверим, выполняется ли равенство.
• Для точки $(10; -20)$: $y = -\frac{1}{5}(10)^2 = -\frac{1}{5} \cdot 100 = -20$. Равенство $-20 = -20$ верно, значит, точка принадлежит графику.
• Для точки $(-5; -5)$: $y = -\frac{1}{5}(-5)^2 = -\frac{1}{5} \cdot 25 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно, значит, точка принадлежит графику.
• Для точки $(\frac{1}{5}; -1)$: $y = -\frac{1}{5}(\frac{1}{5})^2 = -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25} = -\frac{1}{125}$. Равенство $-\frac{1}{125} = -1$ неверно, значит, точка не принадлежит графику.
• Для точки $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{20})$: $y = -\frac{1}{5}(-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{20}$. Равенство $-\frac{1}{20} = -\frac{1}{20}$ верно, значит, точка принадлежит графику.

Запишем координаты ещё двух точек.
• Точка, принадлежащая графику: выберем произвольное значение $x$, например $x=1$. Тогда $y = -\frac{1}{5}(1)^2 = -\frac{1}{5}$. Точка $(1; -\frac{1}{5})$ принадлежит графику.
• Точка, не принадлежащая графику: выберем произвольные координаты, например $(1; 1)$. Проверим: $y = -\frac{1}{5}(1)^2 = -\frac{1}{5}$. Равенство $1 = -\frac{1}{5}$ неверно, значит, точка $(1; 1)$ не принадлежит графику.
Ответ: Графику принадлежат точки $(10; -20)$, $(-5; -5)$ и $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{20})$. Пример точки, принадлежащей графику: $(1; -0,2)$. Пример точки, не принадлежащей графику: $(1; 1)$.

3) Функция $y = -\frac{1}{5}x^2$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Её наибольшее значение достигается в вершине, в точке $x=0$.

• На промежутке $[-2; 6]$:
Точка $x=0$ (вершина) входит в данный промежуток, следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно значению в вершине:
$y_{наиб} = y(0) = -\frac{1}{5}(0)^2 = 0$.
Наименьшее значение будет на том конце отрезка, который дальше от вершины. Сравним расстояния от концов отрезка до $x=0$: $|-2-0|=2$ и $|6-0|=6$. Точка $x=6$ дальше, значит, в ней будет наименьшее значение.
$y_{наим} = y(6) = -\frac{1}{5}(6)^2 = -\frac{36}{5} = -7,2$.

• На промежутке $[-5; 5]$:
Точка $x=0$ (вершина) входит в данный промежуток, поэтому наибольшее значение функции также будет в вершине:
$y_{наиб} = y(0) = 0$.
Промежуток $[-5; 5]$ симметричен относительно вершины ($x=0$), поэтому наименьшее значение будет достигаться на обоих концах промежутка, и эти значения будут равны.
$y_{наим} = y(5) = y(-5) = -\frac{1}{5}(5)^2 = -\frac{25}{5} = -5$.
Ответ: На промежутке $[-2; 6]$ наибольшее значение функции равно 0, а наименьшее равно -7,2. На промежутке $[-5; 5]$ наибольшее значение равно 0, а наименьшее равно -5.