Номер 211, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 211, страница 81.

211 Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, нулями которой являются числа -1 и 3, и постройте её график.

Задание функции формулой

Общий вид квадратичной функции, нулями (корнями) которой являются числа $x_1$ и $x_2$, можно записать в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — некоторый коэффициент, не равный нулю.

По условию, нулями функции являются числа $-1$ и $3$. Следовательно, $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Подставим эти значения в формулу:

$y = a(x - (-1))(x - 3)$

$y = a(x + 1)(x - 3)$

В задании требуется задать «какую-нибудь» квадратичную функцию, поэтому мы можем выбрать любое значение для коэффициента $a$ (кроме $a=0$). Для простоты вычислений выберем $a=1$.

Тогда функция примет вид:

$y = 1 \cdot (x + 1)(x - 3)$

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид функции $y = ax^2 + bx + c$:

$y = x^2 - 3x + x - 3$

$y = x^2 - 2x - 3$

Таким образом, одна из возможных функций, удовлетворяющих условию, задается формулой $y = x^2 - 2x - 3$.

Ответ: $y = x^2 - 2x - 3$.

Построение графика

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола. Для ее построения найдем ключевые характеристики и точки.

1. Направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы.
   Абсциссу вершины $x_0$ найдем по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=-2$.
   $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   Ординату вершины $y_0$ найдем, подставив $x_0 = 1$ в уравнение функции:
   $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
   Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   С осью абсцисс (Ox): Это нули функции, которые нам известны из условия: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.
   С осью ординат (Oy): Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции: $y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.
4. Дополнительные точки.
   Парабола симметрична относительно своей оси, которая в данном случае является прямой $x=1$. Найдем точку, симметричную точке $(0, -3)$ относительно оси $x=1$. Она будет иметь ту же ординату $y=-3$ и абсциссу $x = 2$. Точка $(2, -3)$.

Отметим ключевые точки $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(1, -4)$, $(0, -3)$, $(2, -3)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x - 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1, -4)$, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ и ось ординат в точке $(0, -3)$. График представлен выше.