Номер 208, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 208, страница 80.

208 Докажите, что:

а) числа -4 и 3 являются нулями функции $y = x^2 + x - 12$;

б) функция $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет нулей.

В каждом случае сформулируйте задачу иначе, используя слова: «уравнение» и «корень уравнения», «трёхчлен» и «корень трёхчлена», «график функции» и «точка пересечения».

а)

Нуль функции — это значение аргумента ($x$), при котором значение функции ($y$) равно нулю. Чтобы доказать, что числа -4 и 3 являются нулями функции $y = x^2 + x - 12$, необходимо подставить эти значения в формулу функции и показать, что в результате получится 0.

Проверим каждое число:
1. При $x = -4$:
$y = (-4)^2 + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$.
2. При $x = 3$:
$y = 3^2 + 3 - 12 = 9 + 3 - 12 = 0$.
В обоих случаях значение функции равно нулю, следовательно, числа -4 и 3 действительно являются нулями данной функции.

Переформулируем задачу, используя предложенные термины:

• Используя «уравнение» и «корень уравнения»: Докажите, что числа -4 и 3 являются корнями уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
• Используя «трёхчлен» и «корень трёхчлена»: Докажите, что числа -4 и 3 являются корнями квадратного трёхчлена $x^2 + x - 12$.
• Используя «график функции» и «точка пересечения»: Докажите, что график функции $y = x^2 + x - 12$ пересекает ось абсцисс (Ox) в точках с координатами $(-4; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ: Числа -4 и 3 являются нулями функции $y = x^2 + x - 12$, так как при подстановке этих значений $x$ в функцию, её значение $y$ становится равным нулю.

б)

Чтобы доказать, что функция $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет нулей, нужно показать, что не существует такого значения $x$, при котором $y=0$. Это эквивалентно доказательству того, что квадратное уравнение $2x^2 + 3x + 4 = 0$ не имеет действительных корней.

Для проверки наличия корней у квадратного уравнения найдём его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для уравнения $2x^2 + 3x + 4 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2, b = 3, c = 4$.

Вычисляем дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, функция $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет нулей.

Переформулируем задачу, используя предложенные термины:

• Используя «уравнение» и «корень уравнения»: Докажите, что уравнение $2x^2 + 3x + 4 = 0$ не имеет действительных корней.
• Используя «трёхчлен» и «корень трёхчлена»: Докажите, что квадратный трёхчлен $2x^2 + 3x + 4$ не имеет действительных корней.
• Используя «график функции» и «точка пересечения»: Докажите, что график функции $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет точек пересечения с осью абсцисс (Ox).

Ответ: Функция $y = 2x^2 + 3x + 4$ не имеет нулей, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 3x + 4 = 0$ отрицателен ($D = -23$).