Номер 213, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 213, страница 81.

213 ИССЛЕДУЕМ Площадь $S$ прямоугольника с периметром, равным 20 см, является функцией длины основания $x$ (рис. 2.8).

Рис. 2.8

1) Задайте функцию $S(x)$ формулой; убедитесь, что это квадратичная функция.

$S(x) = x(10 - x)$

2) Постройте график этой функции.

3) Укажите промежуток, который является областью определения этой функции.

4) Каковы значения функции в граничных точках области определения? Дайте геометрическое истолкование этого факта.

5) При каком значении длины основания $x$ площадь прямоугольника будет наибольшей? Что это за прямоугольник?

1)

Пусть длина основания прямоугольника равна $x$ см. Периметр прямоугольника равен $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его сторон. По условию, $P = 20$ см. Полупериметр равен $10$ см. Если одна сторона равна $x$, то вторая сторона будет равна $10 - x$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон:

$S(x) = x \cdot (10 - x)$

Раскроем скобки, чтобы получить формулу функции:

$S(x) = 10x - x^2$

Перепишем в стандартном виде для квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$:

$S(x) = -x^2 + 10x$

Здесь коэффициенты $a = -1$, $b = 10$, $c = 0$. Так как коэффициент $a$ не равен нулю ($a = -1 \neq 0$), эта функция является квадратичной.

Ответ: Формула функции: $S(x) = -x^2 + 10x$. Это квадратичная функция.

2)

Графиком функции $S(x) = -x^2 + 10x$ является парабола. Для ее построения найдем ключевые точки:

• Направление ветвей: Так как старший коэффициент $a = -1$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0; S_0)$ находятся по формулам:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$.
  $S_0 = S(5) = -(5)^2 + 10 \cdot 5 = -25 + 50 = 25$.
  Вершина находится в точке $(5; 25)$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью ординат (Oy), при $x=0$: $S(0) = -0^2 + 10 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
  С осью абсцисс (Ox), при $S(x)=0$: $-x^2 + 10x = 0 \Rightarrow x(-x+10)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=10$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(10; 0)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = 5$.

Ответ: График функции — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(5; 25)$. График пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(10; 0)$.

3)

С математической точки зрения, область определения функции $S(x) = -x^2 + 10x$ — все действительные числа. Однако, в контексте данной геометрической задачи, длины сторон прямоугольника должны быть положительными.

Длина основания: $x > 0$.

Длина второй стороны: $10 - x > 0$, что означает $x < 10$.

Объединяя эти два неравенства, получаем, что $x$ может принимать значения в интервале от $0$ до $10$.

Ответ: Областью определения этой функции является промежуток $(0; 10)$.

4)

Граничными точками области определения являются $x=0$ и $x=10$. Найдем значения функции в этих точках:

$S(0) = -0^2 + 10 \cdot 0 = 0$

$S(10) = -(10)^2 + 10 \cdot 10 = -100 + 100 = 0$

Геометрическое истолкование этого факта заключается в следующем: если одна из сторон прямоугольника равна нулю, то прямоугольник "вырождается" в отрезок, и его площадь становится равной нулю.

• При $x=0$, длина основания равна 0, и прямоугольник представляет собой вертикальный отрезок длиной 10.
• При $x=10$, высота $10-x$ равна 0, и прямоугольник представляет собой горизонтальный отрезок длиной 10.

Ответ: Значения функции в граничных точках $x=0$ и $x=10$ равны нулю. Геометрически это означает, что при таких значениях длин сторон прямоугольник вырождается в линию, и его площадь равна нулю.

5)

Функция площади $S(x) = -x^2 + 10x$ является параболой с ветвями, направленными вниз. Свое наибольшее значение она достигает в вершине.

Как мы нашли в пункте 2, абсцисса вершины параболы $x_0 = 5$.

Следовательно, площадь прямоугольника будет наибольшей при длине основания $x = 5$ см.

Найдем длину второй стороны при $x=5$: $10 - x = 10 - 5 = 5$ см.

Так как обе стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.

Наибольшая площадь равна $S(5) = 25$ см$^2$.

Ответ: Площадь прямоугольника будет наибольшей при значении длины основания $x = 5$ см. Это прямоугольник со сторонами 5 см и 5 см, то есть квадрат.