Номер 209, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 209, страница 80.

209 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ Постройте график функции

$y = x^2 - x - 6$, пользуясь следующим планом:

1) вычислите координаты точек пересечения параболы с осью x и отметьте эти точки в координатной плоскости;

2) проведите ось симметрии параболы;

3) вычислите координаты вершины параболы и отметьте её в координатной плоскости;

4) вычислите координаты ещё каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

5) соедините точки плавной линией.

1) вычислите координаты точек пересечения параболы с осью x и отметьте эти точки в координатной плоскости;

Чтобы найти точки пересечения графика функции $y = x^2 - x - 6$ с осью абсцисс (осью $x$), нужно приравнять $y$ к нулю и решить получившееся квадратное уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$. Следовательно, парабола пересекает ось $x$ в точках, где $y=0$. Координаты этих точек: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.
Ответ: Координаты точек пересечения с осью $x$: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

2) проведите ось симметрии параболы;

Ось симметрии параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ — это вертикальная прямая, которая задается уравнением $x = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $y = x^2 - x - 6$ имеем коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$. Подставим эти значения в формулу: $x = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Это уравнение вертикальной прямой, которая является осью симметрии параболы.
Ответ: Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.5$.

3) вычислите координаты вершины параболы и отметьте её в координатной плоскости;

Координата $x$ вершины параболы ($x_в$) совпадает со значением на оси симметрии: $x_в = 0.5$. Чтобы найти координату $y$ вершины ($y_в$), подставим значение $x_в$ в уравнение функции: $y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(0.5, -6.25)$.
Ответ: Координаты вершины параболы: $(0.5, -6.25)$.

4) вычислите координаты ещё каких-нибудь точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек. Удобно найти точку пересечения с осью $y$ и симметричные ей точки. 1. Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$ в уравнение: $y = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Получаем точку $(0, -6)$. 2. Найдем точку, симметричную точке $(0, -6)$ относительно оси симметрии $x=0.5$. Её абсцисса будет $x=1$. Проверим значение $y$: $y = 1^2 - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = -6$. Получаем точку $(1, -6)$. 3. Возьмем еще одну точку, например, $x = -1$: $y = (-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4$. Получаем точку $(-1, -4)$. 4. Симметричная ей точка относительно оси $x=0.5$ будет иметь абсциссу $x=2$: $y = 2^2 - 2 - 6 = 4 - 2 - 6 = -4$. Получаем точку $(2, -4)$.
Ответ: Дополнительные точки для построения: $(0, -6)$, $(1, -6)$, $(-1, -4)$, $(2, -4)$.

5) соедините точки плавной линией.

Отмечаем на координатной плоскости все найденные точки:

• точки пересечения с осью $x$: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$;
• вершину параболы: $(0.5, -6.25)$;
• дополнительные точки: $(0, -6)$, $(1, -6)$, $(-1, -4)$, $(2, -4)$.

Далее проводим через эти точки плавную кривую. Так как коэффициент $a=1$ (положительный), ветви параболы направлены вверх. В результате получаем искомый график функции.
Ответ: График функции $y = x^2 - x - 6$ построен путем соединения отмеченных точек плавной параболической кривой с ветвями, направленными вверх.