Номер 203, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 203, страница 79.

203 Найдите на рисунке 2.2 график функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$. Определите по графику и вычислите по формуле:

1) $f(0)$, $f(-10)$, $f(2);$

2) значения аргумента $x$, при которых $f(x) = 0$, $f(x) = 4$, $f(x) = 9$.

Поскольку рисунок 2.2 не предоставлен, решение будет основано только на вычислениях по формуле.

1)

Вычислим значения функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$ в заданных точках, подставляя соответствующие значения $x$ в формулу.

При $x = 0$:

$f(0) = \frac{1}{4}(0)^2 + 2(0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$.

При $x = -10$:

$f(-10) = \frac{1}{4}(-10)^2 + 2(-10) + 4 = \frac{1}{4} \cdot 100 - 20 + 4 = 25 - 20 + 4 = 9$.

При $x = 2$:

$f(2) = \frac{1}{4}(2)^2 + 2(2) + 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 4 + 4 = 1 + 4 + 4 = 9$.

Ответ: $f(0) = 4$, $f(-10) = 9$, $f(2) = 9$.

2)

Найдем значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает заданные значения.

При $f(x) = 0$:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x+4)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x+4 = 0$, то есть $x = -4$.

При $f(x) = 4$:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 4$

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{4}x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $\frac{1}{4}x + 2 = 0$.

Решаем второе уравнение: $\frac{1}{4}x = -2$, откуда $x_2 = -8$.

При $f(x) = 9$:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x - 5 = 0$

Умножим обе части уравнения на 4:

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.

$x_2 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: при $f(x) = 0$, $x = -4$; при $f(x) = 4$, $x = 0$ и $x = -8$; при $f(x) = 9$, $x = -10$ и $x = 2$.