Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

201 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

С двухметровой высоты под углом к горизонту выпущена сигнальная ракета. Изменение высоты её полёта $h$ (м) в зависимости от времени движения $t$ (с) описывается формулой $h = 2 + 21t - 5t^2$. График функции $h = f(t)$ изображён на рисунке 2.7. Используя график, ответьте на вопросы:

1) В какое время ракета поднимется на высоту 20 м и в какое время она окажется на той же высоте при спуске?

2) На какой высоте ракета будет через 3,5 с полёта? Через сколько секунд после начала полёта ракета уже была на той же высоте?

3) Укажите наибольшую высоту подъёма ракеты. Сколько времени потребовалось ракете, чтобы подняться на максимальную высоту?

4) Как вы думаете, почему график не доведён до пересечения с осью $x$?

Рис. 2.7

1) В какое время ракета поднимется на высоту 20 м и в какое время она окажется на той же высоте при спуске?

Для ответа на этот вопрос найдем на графике точки, в которых высота $h$ равна 20 м. Для этого проведем мысленно горизонтальную линию на уровне $h=20$. Эта линия пересекает график в двух точках. Первая точка соответствует подъему ракеты, вторая — спуску.
Опустив перпендикуляры из этих точек на ось времени $t$, мы можем определить соответствующее время.
Первое пересечение происходит при $t \approx 1,2$ с (во время подъема).
Второе пересечение происходит при $t = 3$ с (во время спуска).
Для проверки можно подставить $h=20$ в данную формулу: $20 = 2 + 21t - 5t^2$. Это приводит к квадратному уравнению $5t^2 - 21t + 18 = 0$. Его корни $t_1 = 1,2$ и $t_2 = 3$, что подтверждает показания, снятые с графика.
Ответ: Ракета поднимется на высоту 20 м через 1,2 секунды, а окажется на той же высоте при спуске через 3 секунды.

2) На какой высоте ракета будет через 3,5 с полёта? Через сколько секунд после начала полёта ракета уже была на той же высоте?

Найдем на оси времени значение $t = 3,5$ с. Поднимем перпендикуляр от этой точки до пересечения с графиком. Из точки пересечения проведем горизонтальную линию к оси высоты $h$.
По графику видно, что высота будет примерно 14,5 м. Проведем более точный расчет по формуле: $h(3,5) = 2 + 21 \cdot 3,5 - 5 \cdot (3,5)^2 = 2 + 73,5 - 5 \cdot 12,25 = 75,5 - 61,25 = 14,25$ м.
Теперь найдем, в какой момент времени ракета была на этой же высоте во время подъема. Для этого проведем горизонтальную линию на высоте $h=14,25$ м и найдем вторую точку пересечения с графиком. Эта точка соответствует времени $t \approx 0,7$ с.
Проверим расчетом: решим уравнение $14,25 = 2 + 21t - 5t^2$, или $5t^2 - 21t + 12,25 = 0$. Мы уже знаем один корень $t_1 = 3,5$. По теореме Виета, произведение корней $t_1 \cdot t_2 = c/a = 12,25/5 = 2,45$. Тогда второй корень $t_2 = 2,45 / 3,5 = 0,7$ с.
Ответ: Через 3,5 с полёта ракета будет на высоте 14,25 м. На той же высоте ракета уже была через 0,7 с после начала полёта.

3) Укажите наибольшую высоту подъёма ракеты. Сколько времени потребовалось ракете, чтобы подняться на максимальную высоту?

Наибольшая высота подъема соответствует вершине параболы на графике. Найдем ее координаты.
По оси времени $t$ вершина находится в точке $t \approx 2,1$ с.
По оси высоты $h$ вершина находится чуть выше отметки 24 м, примерно на $h \approx 24,1$ м.
Уточним значения с помощью формулы. Время достижения максимальной высоты для параболы $h = at^2+bt+c$ находится по формуле $t_{верш} = -b/(2a)$. В нашем случае $a=-5, b=21$.
$t_{верш} = -21 / (2 \cdot (-5)) = 2,1$ с.
Максимальная высота $h_{макс}$ равна значению функции в этой точке:
$h_{макс} = 2 + 21 \cdot 2,1 - 5 \cdot (2,1)^2 = 2 + 44,1 - 5 \cdot 4,41 = 46,1 - 22,05 = 24,05$ м.
Расчеты полностью согласуются с данными, полученными с графика.
Ответ: Наибольшая высота подъёма ракеты — 24,05 м. Ракете потребовалась 2,1 секунды, чтобы подняться на эту высоту.

4) Как вы думаете, почему график не доведён до пересечения с осью x?

Ось абсцисс (в данном случае ось времени $t$) соответствует нулевой высоте ($h=0$), то есть поверхности земли. Пересечение графика с этой осью означало бы момент падения ракеты на землю.
График обрывается в момент времени $t=4$ с, когда ракета, согласно графику и формуле, находится на высоте $h(4) = 2 + 21 \cdot 4 - 5 \cdot 4^2 = 6$ м. Это означает, что полет еще не завершился.
Наиболее вероятная причина заключается в том, что график описывает полет ракеты только в течение определенного, практически важного промежутка времени. Возможные объяснения:
1. Это сигнальная ракета, и её главная задача — подать сигнал на определённой высоте. После выполнения этой функции её дальнейшая траектория (падение) не имеет значения для рассматриваемой ситуации.
2. Наблюдение за ракетой могло прекратиться в момент времени $t=4$ с.
Таким образом, график не показывает всю траекторию до момента падения на землю, так как он иллюстрирует только ту часть полета, которая важна в рамках данной задачи.
Ответ: График не доведен до пересечения с осью x (осью времени), так как это пересечение соответствует моменту падения ракеты на землю ($h=0$). График же описывает полет лишь в течение определенного интервала времени (до 4 секунд), который, вероятно, является рабочим или наблюдаемым временем полета сигнальной ракеты, выполняющей свою функцию в воздухе.

202 Дана функция

$f(x) = 2x^2 - x - 15$.

1) Найдите $f(3)$, $f(0)$, $f(-3)$, $f(-2,5)$.

2) Найдите значения аргумента, при которых $f(x) = 0$, $f(x) = -5$.

3) Существуют ли значения $x$, при которых $f(x) = -20$?

Дана функция $f(x) = 2x^2 - x - 15$.

1) Найдите f(3), f(0), f(-3), f(-2,5).

Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента, нужно подставить это значение вместо $x$ в формулу функции.

При $x = 3$:

$f(3) = 2 \cdot (3)^2 - 3 - 15 = 2 \cdot 9 - 3 - 15 = 18 - 3 - 15 = 0$.

При $x = 0$:

$f(0) = 2 \cdot (0)^2 - 0 - 15 = 0 - 0 - 15 = -15$.

При $x = -3$:

$f(-3) = 2 \cdot (-3)^2 - (-3) - 15 = 2 \cdot 9 + 3 - 15 = 18 + 3 - 15 = 6$.

При $x = -2,5$:

$f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5)^2 - (-2,5) - 15 = 2 \cdot 6,25 + 2,5 - 15 = 12,5 + 2,5 - 15 = 0$.

Ответ: $f(3) = 0$; $f(0) = -15$; $f(-3) = 6$; $f(-2,5) = 0$.

2) Найдите значения аргумента, при которых f(x) = 0, f(x) = -5.

Чтобы найти значения аргумента, при которых функция принимает определенное значение, нужно решить соответствующие уравнения.

Найдем $x$, при которых $f(x) = 0$:

Решаем квадратное уравнение $2x^2 - x - 15 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = 11$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_2 = \frac{1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5$.

Найдем $x$, при которых $f(x) = -5$:

Решаем уравнение $2x^2 - x - 15 = -5$.

Приведем его к стандартному виду: $2x^2 - x - 10 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = 9$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$.

$x_2 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Ответ: $f(x)=0$ при $x=3$ и $x=-2,5$; $f(x)=-5$ при $x=2,5$ и $x=-2$.

3) Существуют ли значения x, при которых f(x) = -20?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проверить, имеет ли уравнение $f(x) = -20$ действительные корни.

Составим уравнение: $2x^2 - x - 15 = -20$.

Приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 - x - 15 + 20 = 0$

$2x^2 - x + 5 = 0$

Для определения наличия действительных корней вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых $f(x)$ было бы равно -20.

Ответ: нет, таких значений $x$ не существует.

203 Найдите на рисунке 2.2 график функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$. Определите по графику и вычислите по формуле:

1) $f(0)$, $f(-10)$, $f(2);$

2) значения аргумента $x$, при которых $f(x) = 0$, $f(x) = 4$, $f(x) = 9$.

Поскольку рисунок 2.2 не предоставлен, решение будет основано только на вычислениях по формуле.

Вычислим значения функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$ в заданных точках, подставляя соответствующие значения $x$ в формулу.

При $x = 0$:

$f(0) = \frac{1}{4}(0)^2 + 2(0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$.

При $x = -10$:

$f(-10) = \frac{1}{4}(-10)^2 + 2(-10) + 4 = \frac{1}{4} \cdot 100 - 20 + 4 = 25 - 20 + 4 = 9$.

При $x = 2$:

$f(2) = \frac{1}{4}(2)^2 + 2(2) + 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 4 + 4 = 1 + 4 + 4 = 9$.

Ответ: $f(0) = 4$, $f(-10) = 9$, $f(2) = 9$.

Найдем значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает заданные значения.

При $f(x) = 0$:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x+4)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x+4 = 0$, то есть $x = -4$.

При $f(x) = 4$:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 4$

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{4}x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $\frac{1}{4}x + 2 = 0$.

Решаем второе уравнение: $\frac{1}{4}x = -2$, откуда $x_2 = -8$.

При $f(x) = 9$:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$\frac{1}{4}x^2 + 2x - 5 = 0$

Умножим обе части уравнения на 4:

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.

$x_2 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: при $f(x) = 0$, $x = -4$; при $f(x) = 4$, $x = 0$ и $x = -8$; при $f(x) = 9$, $x = -10$ и $x = 2$.