Страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

199 Составьте таблицу значений функции и постройте её график.

a) $y = x^2 - 6x + 5$:

x | $x^2 - 6x + 5$ | y
-1 | $1 + 6 + 5$ | 12
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |

б) $y = -x^2 + 2x + 3$:

x | $-x^2 + 2x + 3$ | y
-3 | |
-2 | |
-1 | |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |

В каждом случае ответьте на вопросы:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком $x$ функция принимает это значение?

2) Пересекает ли график функции прямую $y = 10$? $y = -10$?

Сначала заполним таблицу значений для данной функции:

Теперь построим график функции. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$). Вершина параболы находится в точке $x_v = -b/(2a) = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$. Значение функции в этой точке: $y_v = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина: $(3, -4)$.

Ответим на вопросы:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Координаты вершины мы нашли: $(3, -4)$.

Ответ: Функция имеет наименьшее значение, равное -4. Это значение достигается при $x=3$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Наименьшее значение функции равно -4. Все остальные значения функции больше -4. Прямая $y=10$: так как $10 > -4$, график функции пересекает эту прямую. Прямая $y=-10$: так как $-10 < -4$, график функции не может принять такое значение и не пересекает эту прямую.

Ответ: График пересекает прямую $y=10$, но не пересекает прямую $y=-10$.

Сначала заполним таблицу значений для данной функции:

Теперь построим график функции. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$). Вершина параболы находится в точке $x_v = -b/(2a) = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$. Значение функции в этой точке: $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Вершина: $(1, 4)$.

Ответим на вопросы:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вниз ($a=-1 < 0$), функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Координаты вершины мы нашли: $(1, 4)$.

Ответ: Функция имеет наибольшее значение, равное 4. Это значение достигается при $x=1$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Наибольшее значение функции равно 4. Все остальные значения функции меньше 4. Прямая $y=10$: так как $10 > 4$, график функции не может принять такое значение и не пересекает эту прямую. Прямая $y=-10$: так как $-10 < 4$, график функции пересекает эту прямую.

Ответ: График не пересекает прямую $y=10$, но пересекает прямую $y=-10$.

200 Составьте таблицу значений функции и постройте график (проследите за тем, чтобы на графике была вершина и было ясно направление ветвей):

а) $y = x^2 - 5x + 4$;

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$.

Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком $x$ функция принимает это значение?

а) $y = x^2 - 5x + 4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положителен ($a=1>0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$, которая является точкой минимума для данной функции:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$
$y_v = y(x_v) = (2.5)^2 - 5 \cdot (2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2.5, -2.25)$.

Составим таблицу значений функции, выбрав точки симметрично относительно оси симметрии $x=2.5$:

Построим график функции, используя найденные точки.

Так как ветви параболы направлены вверх ($a>0$), функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Ответ: Функция имеет наименьшее значение $y_{min} = -2.25$ при $x=2.5$.

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, он отрицателен ($a = -0.5 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$, которая является точкой максимума для данной функции:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{2}{-1} = 2$
$y_v = y(x_v) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2 \cdot (2) = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 2)$.

Составим таблицу значений функции, выбрав точки симметрично относительно оси симметрии $x=2$:

Построим график функции, используя найденные точки.

Так как ветви параболы направлены вниз ($a<0$), функция имеет наибольшее значение, но не имеет наименьшего. Наибольшее значение функция принимает в своей вершине.

Ответ: Функция имеет наибольшее значение $y_{max} = 2$ при $x=2$.