Страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

195 РАСПОЗНАЁМ Какие из следующих функций являются квадратными:

$y = 2x^2 - 5x + 1$; $y = (x - 4)^2$; $y = -2x + 3$; $y = 1 - 2x + x^2$; $y = \frac{x^2}{10}$; $y = \frac{10}{x^2}$; $y = x^3 + 3x^2 + x$; $y = \sqrt{x^2}$; $y = -0,5x^2$?

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Проанализируем каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

$y = 2x^2 - 5x + 1$

Данная функция уже представлена в стандартном виде квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Здесь коэффициенты равны $a = 2$, $b = -5$, $c = 1$. Поскольку старший коэффициент $a = 2 \neq 0$, эта функция является квадратичной.

Ответ: является.

$y = (x - 4)^2$

Чтобы определить вид функции, раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.

Полученная функция имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -8$, $c = 16$. Так как $a \neq 0$, функция является квадратичной.

Ответ: является.

$y = -2x + 3$

Это линейная функция, так как наивысшая степень переменной $x$ равна 1. Если попытаться записать её в виде $y = ax^2 + bx + c$, то коэффициент $a$ будет равен 0, что противоречит определению квадратичной функции.

Ответ: не является.

$y = 1 - 2x + x^2$

Перепишем функцию, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $x$: $y = x^2 - 2x + 1$. Функция соответствует виду $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -2$, $c = 1$. Так как $a \neq 0$, функция является квадратичной. (Это также можно записать как $y=(x-1)^2$).

Ответ: является.

$y = \frac{x^2}{10}$

Эту функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{10}x^2$. Это частный случай квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = \frac{1}{10}$, $b = 0$, $c = 0$. Поскольку $a \neq 0$, функция является квадратичной.

Ответ: является.

$y = \frac{10}{x^2}$

В этой функции переменная $x$ находится в знаменателе. Такую функцию можно записать как $y = 10x^{-2}$. Степень переменной $x$ равна -2, а не 2. Это не многочлен, а рациональная функция, следовательно, она не является квадратичной.

Ответ: не является.

$y = x^3 + 3x^2 + x$

Наивысшая степень переменной $x$ в этом многочлене равна 3. Следовательно, это кубическая функция, а не квадратичная.

Ответ: не является.

$y = \sqrt{x^2}$

Выражение $\sqrt{x^2}$ по определению равно модулю числа $x$, то есть $y = |x|$. Эта функция является кусочно-линейной ($y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$). Ее график — не парабола, и она не является квадратичной функцией.

Ответ: не является.

$y = -0,5x^2$

Это частный случай квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -0,5$, $b = 0$ и $c = 0$. Так как $a \neq 0$, функция является квадратичной.

Ответ: является.

Таким образом, квадратичными функциями из предложенного списка являются:

• $y = 2x^2 - 5x + 1$
• $y = (x - 4)^2$
• $y = 1 - 2x + x^2$
• $y = \frac{x^2}{10}$
• $y = -0,5x^2$

196 Для каждой параболы, изображённой на рисунке 2.2, укажите:

1) направление ветвей;

2) уравнение оси симметрии;

3) координаты вершины.

Поскольку в вопросе отсутствует сам "рисунок 2.2" с параболами, решение будет представлено на примере нескольких гипотетических парабол, чтобы продемонстрировать общий принцип выполнения задания. Для нахождения требуемых характеристик необходимо визуально проанализировать график каждой параболы.

Парабола А

Допустим, на рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(3, 4)$, ветви которой направлены вверх.

1) направление ветвей

Чтобы определить направление ветвей, нужно посмотреть, куда "открывается" парабола. Если она открывается вверх (подобно чаше), то ветви направлены вверх. Если она открывается вниз (подобно холму), ветви направлены вниз. В нашем примере ветви направлены вверх.

Ответ: ветви направлены вверх.

2) уравнение оси симметрии

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая проходит через её вершину и делит параболу на две симметричные части. Уравнение такой прямой имеет вид $x = x_0$, где $x_0$ — это абсцисса (координата $x$) вершины параболы. Для нашей параболы абсцисса вершины равна 3.

Ответ: $x = 3$.

3) координаты вершины

Вершина параболы — это её самая нижняя точка (если ветви направлены вверх) или самая верхняя точка (если ветви направлены вниз). Координаты этой точки считываются прямо с графика. По нашему предположению, вершина находится в точке с координатами $(3, 4)$.

Ответ: $(3, 4)$.

Парабола Б

Допустим, на рисунке изображена вторая парабола с вершиной в точке $(-1, -2)$, ветви которой направлены вниз.

1) направление ветвей

Данная парабола "открывается" вниз, следовательно, ее ветви направлены вниз.

Ответ: ветви направлены вниз.

2) уравнение оси симметрии

Ось симметрии проходит через вершину. Абсцисса вершины равна -1. Таким образом, уравнение оси симметрии — это $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

3) координаты вершины

Вершина является точкой максимума для данной параболы. Согласно нашему предположению, ее координаты $(-1, -2)$.

Ответ: $(-1, -2)$.

Парабола В

Допустим, на рисунке есть третья парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

1) направление ветвей

Ветви параболы направлены вверх.

Ответ: ветви направлены вверх.

2) уравнение оси симметрии

Абсцисса вершины равна 0. Это означает, что ось симметрии совпадает с осью ординат ($Oy$). Ее уравнение $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

3) координаты вершины

Вершина параболы находится в точке пересечения осей координат.

Ответ: $(0, 0)$.

197 Покажите на каждом графике (см. рис. 2.2) точку его пересечения с осью $y$ и симметричную ей точку. Запишите координаты отмеченных точек. Укажите на графике ещё одну пару симметричных точек и запишите их координаты.

Поскольку графики из рис. 2.2 не предоставлены, решение будет продемонстрировано на трёх примерах парабол, для каждой из которых будет выполнен требуемый анализ.

График а)

Предположим, что на графике изображена парабола, заданная функцией $y = x^2 - 4x + 3$.

Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка

Точка пересечения графика с осью $y$ имеет абсциссу $x=0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти ординату:

$y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$

Следовательно, точка пересечения с осью $y$ — это точка с координатами $(0, 3)$.

Осью симметрии для параболы $y = ax^2+bx+c$ является прямая $x = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции ось симметрии: $x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Точка, симметричная точке $(0, 3)$ относительно прямой $x=2$, имеет ту же ординату $y=3$. Её абсциссу $x'$ находим из условия, что ось симметрии является серединой отрезка, соединяющего абсциссы симметричных точек: $\frac{0+x'}{2} = 2$, откуда $x'=4$.

Таким образом, симметричная точка имеет координаты $(4, 3)$.

Ещё одна пара симметричных точек

Чтобы найти ещё одну пару симметричных точек, выберем произвольное значение $x$ (например, $x=1$) и найдем соответствующее значение $y$:

$y = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

Получили точку с координатами $(1, 0)$.

Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату $y=0$. Её абсциссу $x''$ находим из того же условия симметрии: $\frac{1+x''}{2} = 2$, откуда $1+x''=4$ и $x''=3$.

Координаты второй симметричной точки: $(3, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью $y$ — $(0, 3)$, симметричная ей точка — $(4, 3)$. Ещё одна пара симметричных точек — $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

График б)

Предположим, что на графике изображена парабола, заданная функцией $y = -x^2 - 2x + 1$.

Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка

При $x=0$, ордината точки пересечения равна: $y = -(0)^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Координаты точки: $(0, 1)$.

Ось симметрии для этой параболы: $x = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.

Симметричная точка имеет ординату $y=1$. Её абсцисса $x'$ находится из условия $\frac{0+x'}{2} = -1$, откуда $x' = -2$. Координаты симметричной точки: $(-2, 1)$.

Ещё одна пара симметричных точек

Возьмем $x=1$ и найдем $y$: $y = -(1)^2 - 2 \cdot 1 + 1 = -1 - 2 + 1 = -2$. Получили точку $(1, -2)$.

Симметричная ей точка имеет ординату $y=-2$. Её абсцисса $x''$ находится из условия $\frac{1+x''}{2} = -1$, откуда $1+x'' = -2$ и $x''=-3$. Координаты второй симметричной точки: $(-3, -2)$.

Ответ: Точка пересечения с осью $y$ — $(0, 1)$, симметричная ей точка — $(-2, 1)$. Ещё одна пара симметричных точек — $(1, -2)$ и $(-3, -2)$.

График в)

Предположим, что на графике изображена парабола, заданная функцией $y = 0.5x^2 + 2x$.

Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка

При $x=0$, ордината точки пересечения равна: $y = 0.5 \cdot (0)^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$. Эта точка является одновременно и точкой пересечения с осью $y$, и вершиной параболы, и точкой пересечения с осью $x$.

Ось симметрии для этой параболы: $x = -\frac{2}{2 \cdot 0.5} = -2$.

Симметричная точка имеет ординату $y=0$. Её абсцисса $x'$ находится из условия $\frac{0+x'}{2} = -2$, откуда $x' = -4$. Координаты симметричной точки: $(-4, 0)$.

Ещё одна пара симметричных точек

Возьмем $x=1$ и найдем $y$: $y = 0.5 \cdot (1)^2 + 2 \cdot 1 = 0.5 + 2 = 2.5$. Получили точку $(1, 2.5)$.

Симметричная ей точка имеет ординату $y=2.5$. Её абсцисса $x''$ находится из условия $\frac{1+x''}{2} = -2$, откуда $1+x'' = -4$ и $x''=-5$. Координаты второй симметричной точки: $(-5, 2.5)$.

Ответ: Точка пересечения с осью $y$ — $(0, 0)$, симметричная ей точка — $(-4, 0)$. Ещё одна пара симметричных точек — $(1, 2.5)$ и $(-5, 2.5)$.

198 На рисунке 2.6 изображена часть параболы (графика некоторой квадратичной функции) и её ось симметрии. Запишите уравнение оси симметрии.

Перенесите рисунок в тетрадь и достройте параболу. Укажите направление ветвей параболы.

Ответьте на вопросы:

1) Каковы координаты вершины параболы?

2) Чему равно значение $y$ при значении $x$, равном $-4$; $1$; $3$?

3) При каких значениях $x$ значение $y$ равно $0$; $3$; $-3$?

Рис. 2.6

Проанализируем предоставленный график и выполним все пункты задания.

На графике изображена парабола и ее ось симметрии. Ось симметрии — это вертикальная прямая. Из графика видно, что она проходит через точку $x = -2$. Следовательно, уравнение оси симметрии: $x = -2$.

Вершина параболы — это точка пересечения параболы с ее осью симметрии. Из графика находим, что при $x = -2$ значение функции $y = 8$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 8)$.

Поскольку вершина является наивысшей точкой на графике, ветви параболы направлены вниз.

Для построения полной параболы нужно отразить данную левую ветвь симметрично относительно оси $x = -2$. Например, на графике есть точка $(-4, 0)$. Расстояние от этой точки до оси симметрии по оси абсцисс равно $|-4 - (-2)| = 2$. Отложив такое же расстояние вправо от оси, получим симметричную точку: $(-2 + 2, 0) = (0, 0)$. Аналогично для точки $(-3, 6)$ симметричной будет точка $(-1, 6)$. Соединив эти точки и вершину плавной кривой, мы получим полную параболу.

Для точных вычислений найдем уравнение параболы. Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ имеет вид: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.Подставим координаты вершины $(-2, 8)$:$y = a(x - (-2))^2 + 8$$y = a(x+2)^2 + 8$

Для нахождения коэффициента $a$ возьмем любую другую точку на графике, например, $(-4, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение:$0 = a(-4+2)^2 + 8$$0 = a(-2)^2 + 8$$0 = 4a + 8$$4a = -8$$a = -2$

Итак, уравнение параболы: $y = -2(x+2)^2 + 8$. Отрицательное значение $a$ подтверждает, что ветви параболы направлены вниз.

Теперь ответим на вопросы.

1) Каковы координаты вершины параболы?
Вершина параболы — это точка, в которой она пересекает свою ось симметрии $x = -2$. Как было определено из графика, эта точка имеет координаты $(-2, 8)$.
Ответ: Координаты вершины параболы: $(-2, 8)$.

2) Чему равно значение y при значении x, равном -4; 1; 3?
Используем найденное уравнение параболы $y = -2(x+2)^2 + 8$ для вычисления значений $y$.
При $x = -4$:$y = -2(-4+2)^2 + 8 = -2(-2)^2 + 8 = -2(4) + 8 = -8 + 8 = 0$.
При $x = 1$:$y = -2(1+2)^2 + 8 = -2(3)^2 + 8 = -2(9) + 8 = -18 + 8 = -10$.
При $x = 3$:$y = -2(3+2)^2 + 8 = -2(5)^2 + 8 = -2(25) + 8 = -50 + 8 = -42$.
Ответ: При $x = -4$ значение $y = 0$; при $x = 1$ значение $y = -10$; при $x = 3$ значение $y = -42$.

3) При каких значениях x значение y равно 0; 3; -3?
Решим уравнение $y = -2(x+2)^2 + 8$ для каждого заданного значения $y$.
При $y = 0$:$0 = -2(x+2)^2 + 8$$2(x+2)^2 = 8$$(x+2)^2 = 4$$x+2 = \pm\sqrt{4}$$x+2 = 2$ или $x+2 = -2$$x_1 = 0$, $x_2 = -4$.
При $y = 3$:$3 = -2(x+2)^2 + 8$$2(x+2)^2 = 8 - 3$$2(x+2)^2 = 5$$(x+2)^2 = \frac{5}{2}$$x+2 = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$$x = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$.
При $y = -3$:$-3 = -2(x+2)^2 + 8$$2(x+2)^2 = 8 - (-3)$$2(x+2)^2 = 11$$(x+2)^2 = \frac{11}{2}$$x+2 = \pm\sqrt{\frac{11}{2}} = \pm\frac{\sqrt{22}}{2}$$x = -2 \pm \frac{\sqrt{22}}{2}$.
Ответ: Значение $y=0$ при $x=-4$ и $x=0$; значение $y=3$ при $x = -2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$ и $x = -2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$; значение $y=-3$ при $x = -2 - \frac{\sqrt{22}}{2}$ и $x = -2 + \frac{\sqrt{22}}{2}$.