Номер 197, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 197, страница 77.

197 Покажите на каждом графике (см. рис. 2.2) точку его пересечения с осью $y$ и симметричную ей точку. Запишите координаты отмеченных точек. Укажите на графике ещё одну пару симметричных точек и запишите их координаты.

Поскольку графики из рис. 2.2 не предоставлены, решение будет продемонстрировано на трёх примерах парабол, для каждой из которых будет выполнен требуемый анализ.

График а)

Предположим, что на графике изображена парабола, заданная функцией $y = x^2 - 4x + 3$.

Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка

Точка пересечения графика с осью $y$ имеет абсциссу $x=0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти ординату:

$y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$

Следовательно, точка пересечения с осью $y$ — это точка с координатами $(0, 3)$.

Осью симметрии для параболы $y = ax^2+bx+c$ является прямая $x = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции ось симметрии: $x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Точка, симметричная точке $(0, 3)$ относительно прямой $x=2$, имеет ту же ординату $y=3$. Её абсциссу $x'$ находим из условия, что ось симметрии является серединой отрезка, соединяющего абсциссы симметричных точек: $\frac{0+x'}{2} = 2$, откуда $x'=4$.

Таким образом, симметричная точка имеет координаты $(4, 3)$.

Ещё одна пара симметричных точек

Чтобы найти ещё одну пару симметричных точек, выберем произвольное значение $x$ (например, $x=1$) и найдем соответствующее значение $y$:

$y = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

Получили точку с координатами $(1, 0)$.

Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату $y=0$. Её абсциссу $x''$ находим из того же условия симметрии: $\frac{1+x''}{2} = 2$, откуда $1+x''=4$ и $x''=3$.

Координаты второй симметричной точки: $(3, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью $y$ — $(0, 3)$, симметричная ей точка — $(4, 3)$. Ещё одна пара симметричных точек — $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

График б)

Предположим, что на графике изображена парабола, заданная функцией $y = -x^2 - 2x + 1$.

Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка

При $x=0$, ордината точки пересечения равна: $y = -(0)^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Координаты точки: $(0, 1)$.

Ось симметрии для этой параболы: $x = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.

Симметричная точка имеет ординату $y=1$. Её абсцисса $x'$ находится из условия $\frac{0+x'}{2} = -1$, откуда $x' = -2$. Координаты симметричной точки: $(-2, 1)$.

Ещё одна пара симметричных точек

Возьмем $x=1$ и найдем $y$: $y = -(1)^2 - 2 \cdot 1 + 1 = -1 - 2 + 1 = -2$. Получили точку $(1, -2)$.

Симметричная ей точка имеет ординату $y=-2$. Её абсцисса $x''$ находится из условия $\frac{1+x''}{2} = -1$, откуда $1+x'' = -2$ и $x''=-3$. Координаты второй симметричной точки: $(-3, -2)$.

Ответ: Точка пересечения с осью $y$ — $(0, 1)$, симметричная ей точка — $(-2, 1)$. Ещё одна пара симметричных точек — $(1, -2)$ и $(-3, -2)$.

График в)

Предположим, что на графике изображена парабола, заданная функцией $y = 0.5x^2 + 2x$.

Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка

При $x=0$, ордината точки пересечения равна: $y = 0.5 \cdot (0)^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$. Эта точка является одновременно и точкой пересечения с осью $y$, и вершиной параболы, и точкой пересечения с осью $x$.

Ось симметрии для этой параболы: $x = -\frac{2}{2 \cdot 0.5} = -2$.

Симметричная точка имеет ординату $y=0$. Её абсцисса $x'$ находится из условия $\frac{0+x'}{2} = -2$, откуда $x' = -4$. Координаты симметричной точки: $(-4, 0)$.

Ещё одна пара симметричных точек

Возьмем $x=1$ и найдем $y$: $y = 0.5 \cdot (1)^2 + 2 \cdot 1 = 0.5 + 2 = 2.5$. Получили точку $(1, 2.5)$.

Симметричная ей точка имеет ординату $y=2.5$. Её абсцисса $x''$ находится из условия $\frac{1+x''}{2} = -2$, откуда $1+x'' = -4$ и $x''=-5$. Координаты второй симметричной точки: $(-5, 2.5)$.

Ответ: Точка пересечения с осью $y$ — $(0, 0)$, симметричная ей точка — $(-4, 0)$. Ещё одна пара симметричных точек — $(1, 2.5)$ и $(-5, 2.5)$.