Номер 14, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 1. Неравенства - номер 14, страница 71.

14 Решите систему неравенств $ \begin{cases} 3x \le x - 5 \\ 4x + 6 \le 0 \\ x + 1 \ge 3x + 5. \end{cases} $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3x \le x - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а постоянные слагаемые — в правую:

$3x - x \le -5$

$2x \le -5$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \le - \frac{5}{2}$

$x \le -2.5$

2. Решим второе неравенство:

$4x + 6 \le 0$

Перенесем 6 в правую часть с противоположным знаком:

$4x \le -6$

Разделим обе части на 4:

$x \le - \frac{6}{4}$

$x \le - \frac{3}{2}$

$x \le -1.5$

3. Решим третье неравенство:

$x + 1 \ge 3x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$1 - 5 \ge 3x - x$

$-4 \ge 2x$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства при этом не меняется:

$-2 \ge x$

Запишем это в более привычном виде:

$x \le -2$

4. Найдем пересечение решений.

Мы получили три условия, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x \le -2.5 \\ x \le -1.5 \\ x \le -2 \end{cases}$

Чтобы найти решение системы, нужно найти пересечение этих трех множеств. Если отметить эти промежутки на числовой оси, то их общей частью будет та, которая удовлетворяет самому строгому условию. Самое строгое условие — $x \le -2.5$, так как любое число, меньшее или равное $-2.5$, автоматически будет меньше $-2$ и меньше $-1.5$.

Следовательно, решением системы является промежуток $(-\infty; -2.5]$.

Ответ: $(-\infty; -2.5]$