Номер 12, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 1. Неравенства - номер 12, страница 71.

12. Решите систему неравенств

$$\begin{cases}5x \ge 2x + 9 \\10 - 2x \le 8\end{cases}$$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

Решение первого неравенства:

$5x \ge 2x + 9$
Перенесем члены, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые члены — в правую. При переносе через знак неравенства знак члена меняется на противоположный.
$5x - 2x \ge 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x \ge 9$
Разделим обе части неравенства на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x \ge \frac{9}{3}$
$x \ge 3$
Решением первого неравенства является числовой промежуток $[3; +\infty)$.

Решение второго неравенства:

$10 - 2x \le 8$
Перенесем число 10 в правую часть с противоположным знаком:
$-2x \le 8 - 10$
$-2x \le -2$
Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «$\le$» на «$\ge$»):
$x \ge \frac{-2}{-2}$
$x \ge 1$
Решением второго неравенства является числовой промежуток $[1; +\infty)$.

Нахождение решения системы:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x \ge 3$ и $x \ge 1$.
Если число больше или равно 3, то оно автоматически больше или равно 1. Таким образом, общим решением для обоих неравенств является $x \ge 3$.
На числовой оси это пересечение двух лучей: $[3; +\infty)$ и $[1; +\infty)$, их общая часть — это луч $[3; +\infty)$.

Ответ: $[3; +\infty)$.