Номер 18, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 1. Неравенства - номер 18, страница 71.

18 Сравните числа $\sqrt{8} + \sqrt{10}$ и 6.

Для того чтобы сравнить два положительных числа $\sqrt{8} + \sqrt{10}$ и $6$, можно сравнить их квадраты. Так как обе части будущего неравенства положительны, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится.

Предположим, что $\sqrt{8} + \sqrt{10} > 6$, и проверим это предположение, возведя обе части в квадрат.

1. Найдем квадрат первого числа: $(\sqrt{8} + \sqrt{10})^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{8} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 8 + 2\sqrt{8 \cdot 10} + 10 = 18 + 2\sqrt{80}$.

2. Найдем квадрат второго числа:

$6^2 = 36$.

3. Теперь сравним полученные выражения: $18 + 2\sqrt{80}$ и $36$.

Для этого вычтем из обоих выражений 18:

$18 + 2\sqrt{80} - 18$ и $36 - 18$

$2\sqrt{80}$ и $18$

Разделим оба выражения на 2:

$\sqrt{80}$ и $9$

4. Чтобы сравнить $\sqrt{80}$ и $9$, представим $9$ в виде корня: $9 = \sqrt{9^2} = \sqrt{81}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $80$ и $81$.

Очевидно, что $80 < 81$.

Это означает, что $\sqrt{80} < \sqrt{81}$, или $\sqrt{80} < 9$.

Поскольку мы получили знак "$<$", наше первоначальное предположение о знаке "$>$" было неверным. Проследим цепочку преобразований в обратном порядке с правильным знаком:

$\sqrt{80} < 9$

Умножим на 2:

$2\sqrt{80} < 18$

Прибавим 18:

$18 + 2\sqrt{80} < 36$

Заменим выражения их исходными квадратами:

$(\sqrt{8} + \sqrt{10})^2 < 6^2$

Поскольку исходные числа $\sqrt{8} + \sqrt{10}$ и $6$ положительны, из неравенства их квадратов следует такое же неравенство для самих чисел:

$\sqrt{8} + \sqrt{10} < 6$.

Ответ: $\sqrt{8} + \sqrt{10} < 6$.