Номер 198, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 198, страница 77.

198 На рисунке 2.6 изображена часть параболы (графика некоторой квадратичной функции) и её ось симметрии. Запишите уравнение оси симметрии.

Перенесите рисунок в тетрадь и достройте параболу. Укажите направление ветвей параболы.

Ответьте на вопросы:

1) Каковы координаты вершины параболы?

2) Чему равно значение $y$ при значении $x$, равном $-4$; $1$; $3$?

3) При каких значениях $x$ значение $y$ равно $0$; $3$; $-3$?

Рис. 2.6

Проанализируем предоставленный график и выполним все пункты задания.

На графике изображена парабола и ее ось симметрии. Ось симметрии — это вертикальная прямая. Из графика видно, что она проходит через точку $x = -2$. Следовательно, уравнение оси симметрии: $x = -2$.

Вершина параболы — это точка пересечения параболы с ее осью симметрии. Из графика находим, что при $x = -2$ значение функции $y = 8$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 8)$.

Поскольку вершина является наивысшей точкой на графике, ветви параболы направлены вниз.

Для построения полной параболы нужно отразить данную левую ветвь симметрично относительно оси $x = -2$. Например, на графике есть точка $(-4, 0)$. Расстояние от этой точки до оси симметрии по оси абсцисс равно $|-4 - (-2)| = 2$. Отложив такое же расстояние вправо от оси, получим симметричную точку: $(-2 + 2, 0) = (0, 0)$. Аналогично для точки $(-3, 6)$ симметричной будет точка $(-1, 6)$. Соединив эти точки и вершину плавной кривой, мы получим полную параболу.

Для точных вычислений найдем уравнение параболы. Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ имеет вид: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.Подставим координаты вершины $(-2, 8)$:$y = a(x - (-2))^2 + 8$$y = a(x+2)^2 + 8$

Для нахождения коэффициента $a$ возьмем любую другую точку на графике, например, $(-4, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение:$0 = a(-4+2)^2 + 8$$0 = a(-2)^2 + 8$$0 = 4a + 8$$4a = -8$$a = -2$

Итак, уравнение параболы: $y = -2(x+2)^2 + 8$. Отрицательное значение $a$ подтверждает, что ветви параболы направлены вниз.

Теперь ответим на вопросы.

1) Каковы координаты вершины параболы?
Вершина параболы — это точка, в которой она пересекает свою ось симметрии $x = -2$. Как было определено из графика, эта точка имеет координаты $(-2, 8)$.
Ответ: Координаты вершины параболы: $(-2, 8)$.

2) Чему равно значение y при значении x, равном -4; 1; 3?
Используем найденное уравнение параболы $y = -2(x+2)^2 + 8$ для вычисления значений $y$.
При $x = -4$:$y = -2(-4+2)^2 + 8 = -2(-2)^2 + 8 = -2(4) + 8 = -8 + 8 = 0$.
При $x = 1$:$y = -2(1+2)^2 + 8 = -2(3)^2 + 8 = -2(9) + 8 = -18 + 8 = -10$.
При $x = 3$:$y = -2(3+2)^2 + 8 = -2(5)^2 + 8 = -2(25) + 8 = -50 + 8 = -42$.
Ответ: При $x = -4$ значение $y = 0$; при $x = 1$ значение $y = -10$; при $x = 3$ значение $y = -42$.

3) При каких значениях x значение y равно 0; 3; -3?
Решим уравнение $y = -2(x+2)^2 + 8$ для каждого заданного значения $y$.
При $y = 0$:$0 = -2(x+2)^2 + 8$$2(x+2)^2 = 8$$(x+2)^2 = 4$$x+2 = \pm\sqrt{4}$$x+2 = 2$ или $x+2 = -2$$x_1 = 0$, $x_2 = -4$.
При $y = 3$:$3 = -2(x+2)^2 + 8$$2(x+2)^2 = 8 - 3$$2(x+2)^2 = 5$$(x+2)^2 = \frac{5}{2}$$x+2 = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$$x = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$.
При $y = -3$:$-3 = -2(x+2)^2 + 8$$2(x+2)^2 = 8 - (-3)$$2(x+2)^2 = 11$$(x+2)^2 = \frac{11}{2}$$x+2 = \pm\sqrt{\frac{11}{2}} = \pm\frac{\sqrt{22}}{2}$$x = -2 \pm \frac{\sqrt{22}}{2}$.
Ответ: Значение $y=0$ при $x=-4$ и $x=0$; значение $y=3$ при $x = -2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$ и $x = -2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$; значение $y=-3$ при $x = -2 - \frac{\sqrt{22}}{2}$ и $x = -2 + \frac{\sqrt{22}}{2}$.