Номер 199, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 199, страница 78.

199 Составьте таблицу значений функции и постройте её график.

a) $y = x^2 - 6x + 5$:

x | $x^2 - 6x + 5$ | y
-1 | $1 + 6 + 5$ | 12
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |

б) $y = -x^2 + 2x + 3$:

x | $-x^2 + 2x + 3$ | y
-3 | |
-2 | |
-1 | |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |

В каждом случае ответьте на вопросы:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком $x$ функция принимает это значение?

2) Пересекает ли график функции прямую $y = 10$? $y = -10$?

а) y = x² - 6x + 5:

Сначала заполним таблицу значений для данной функции:

$x$	$x^2 - 6x + 5$	$y$
-1	$(-1)^2 - 6(-1) + 5 = 1 + 6 + 5$	12
0	$0^2 - 6(0) + 5 = 0 - 0 + 5$	5
1	$1^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5$	0
2	$2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5$	-3
3	$3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5$	-4
4	$4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5$	-3
5	$5^2 - 6(5) + 5 = 25 - 30 + 5$	0
6	$6^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5$	5
7	$7^2 - 6(7) + 5 = 49 - 42 + 5$	12

Теперь построим график функции. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$). Вершина параболы находится в точке $x_v = -b/(2a) = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$. Значение функции в этой точке: $y_v = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина: $(3, -4)$.

Ответим на вопросы:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Координаты вершины мы нашли: $(3, -4)$.

Ответ: Функция имеет наименьшее значение, равное -4. Это значение достигается при $x=3$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Наименьшее значение функции равно -4. Все остальные значения функции больше -4. Прямая $y=10$: так как $10 > -4$, график функции пересекает эту прямую. Прямая $y=-10$: так как $-10 < -4$, график функции не может принять такое значение и не пересекает эту прямую.

Ответ: График пересекает прямую $y=10$, но не пересекает прямую $y=-10$.

---

б) y = -x² + 2x + 3:

Сначала заполним таблицу значений для данной функции:

$x$	$-x^2 + 2x + 3$	$y$
-3	$-(-3)^2 + 2(-3) + 3 = -9 - 6 + 3$	-12
-2	$-(-2)^2 + 2(-2) + 3 = -4 - 4 + 3$	-5
-1	$-(-1)^2 + 2(-1) + 3 = -1 - 2 + 3$	0
0	$-(0)^2 + 2(0) + 3 = 0 + 0 + 3$	3
1	$-(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3$	4
2	$-(2)^2 + 2(2) + 3 = -4 + 4 + 3$	3
3	$-(3)^2 + 2(3) + 3 = -9 + 6 + 3$	0
4	$-(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3$	-5
5	$-(5)^2 + 2(5) + 3 = -25 + 10 + 3$	-12

Теперь построим график функции. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$). Вершина параболы находится в точке $x_v = -b/(2a) = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$. Значение функции в этой точке: $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Вершина: $(1, 4)$.

Ответим на вопросы:

1) Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение и чему оно равно? При каком x функция принимает это значение?

Так как ветви параболы направлены вниз ($a=-1 < 0$), функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Координаты вершины мы нашли: $(1, 4)$.

Ответ: Функция имеет наибольшее значение, равное 4. Это значение достигается при $x=1$.

2) Пересекает ли график функции прямую y = 10? y = -10?

Наибольшее значение функции равно 4. Все остальные значения функции меньше 4. Прямая $y=10$: так как $10 > 4$, график функции не может принять такое значение и не пересекает эту прямую. Прямая $y=-10$: так как $-10 < 4$, график функции пересекает эту прямую.

Ответ: График не пересекает прямую $y=10$, но пересекает прямую $y=-10$.