Номер 16, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 1. Неравенства - номер 16, страница 71.

16 При каких значениях $a$ система неравенств $\begin{cases} 4x \le 10 \\ x - a \ge 0 \end{cases}$ имеет решения?

Для того чтобы система неравенств имела решения, необходимо найти такие значения параметра a, при которых существует хотя бы одно значение x, удовлетворяющее обоим неравенствам.

Рассмотрим данную систему:

$$ \begin{cases} 4x \le 10 \\ x - a \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство относительно переменной x.

1. Из первого неравенства получаем:

$4x \le 10$

Разделим обе части на 4:

$x \le \frac{10}{4}$

$x \le 2.5$

Решением этого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 2.5]$.

2. Из второго неравенства получаем:

$x - a \ge 0$

Перенесем a в правую часть:

$x \ge a$

Решением этого неравенства является числовой промежуток $[a; +\infty)$.

Система неравенств будет иметь решения, если пересечение этих двух промежутков не является пустым множеством. То есть, необходимо найти такие x, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \le 2.5$ и $x \ge a$.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$a \le x \le 2.5$

Такой промежуток для x существует и не является пустым множеством только в том случае, если его левая граница (a) не больше его правой границы (2.5). Следовательно, должно выполняться условие:

$a \le 2.5$

Если $a > 2.5$, то пересечение промежутков $(-\infty; 2.5]$ и $[a; +\infty)$ будет пустым, и система не будет иметь решений.

Ответ: $a \le 2.5$