Номер 13, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 1. Неравенства - номер 13, страница 71.

13 Решите двойное неравенство $-5 < 1 - \frac{2-x}{3} < 5$.

Для решения двойного неравенства необходимо выполнить тождественные преобразования одновременно со всеми его частями. Цель — изолировать переменную $x$ в центральной части неравенства.

Исходное неравенство:

$-5 < 1 - \frac{2-x}{3} < 5$

1. Вычтем 1 из всех трёх частей неравенства, чтобы избавиться от единицы в центральной части.

$-5 - 1 < 1 - \frac{2-x}{3} - 1 < 5 - 1$

$-6 < -\frac{2-x}{3} < 4$

2. Умножим все части неравенства на -1. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$(-6) \cdot (-1) > \left(-\frac{2-x}{3}\right) \cdot (-1) > 4 \cdot (-1)$

$6 > \frac{2-x}{3} > -4$

3. Для удобства перепишем неравенство в стандартном виде, расположив числа в порядке возрастания (от меньшего к большему).

$-4 < \frac{2-x}{3} < 6$

4. Теперь умножим все части на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства остаются прежними.

$-4 \cdot 3 < \frac{2-x}{3} \cdot 3 < 6 \cdot 3$

$-12 < 2 - x < 18$

5. Вычтем 2 из всех частей, чтобы изолировать $-x$.

$-12 - 2 < 2 - x - 2 < 18 - 2$

$-14 < -x < 16$

6. На последнем шаге умножим все части на -1, чтобы найти $x$. Снова не забываем поменять знаки неравенства на противоположные.

$(-14) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) > 16 \cdot (-1)$

$14 > x > -16$

Запишем окончательное решение в стандартном виде:

$-16 < x < 14$

Это решение также можно представить в виде интервала $x \in (-16; 14)$.

Ответ: $-16 < x < 14$.