Страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

9 О числах $a$ и $c$ известно, что $a < c$. Какое из неравенств неверно?

1) $a - 3 < c - 3$

2) $-\frac{a}{2} < -\frac{c}{2}$

3) $a + 5 < c + 5$

4) $\frac{1}{4}a < \frac{1}{4}c$

Проанализируем каждое из предложенных неравенств, исходя из условия, что $a < c$.

1) $a - 3 < c - 3$
Согласно свойству числовых неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Вычитаем число 3 из обеих частей исходного неравенства $a < c$:
$a - 3 < c - 3$
Ответ: неравенство верное.

2) $-\frac{a}{2} < -\frac{c}{2}$
Разделим обе части исходного неравенства $a < c$ на положительное число 2. Знак неравенства сохранится:
$\frac{a}{2} < \frac{c}{2}$
Теперь умножим обе части полученного неравенства на отрицательное число -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$(-1) \cdot \frac{a}{2} > (-1) \cdot \frac{c}{2}$
$-\frac{a}{2} > -\frac{c}{2}$
Это противоречит неравенству, данному в варианте.
Ответ: неравенство неверное.

3) $a + 5 < c + 5$
Согласно свойству числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Прибавляем число 5 к обеим частям исходного неравенства $a < c$:
$a + 5 < c + 5$
Ответ: неравенство верное.

4) $\frac{1}{4}a < \frac{1}{4}c$
Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Умножаем обе части исходного неравенства $a < c$ на положительное число $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4}a < \frac{1}{4}c$
Ответ: неравенство верное.

Таким образом, единственное неверное неравенство представлено в пункте 2.

10 Решите неравенство $3 - x \ge 3x + 5$.

Для решения данного линейного неравенства необходимо сгруппировать слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой.

Исходное неравенство:

$3 - x \ge 3x + 5$

Перенесем слагаемое $3x$ из правой части в левую, а число $3$ из левой части в правую. При переносе слагаемых через знак неравенства их знак меняется на противоположный:

$-x - 3x \ge 5 - 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$-4x \ge 2$

Теперь разделим обе части неравенства на $-4$. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае знак $\ge$ поменяется на $\le$):

$x \le \frac{2}{-4}$

Упростим дробь:

$x \le -0.5$

Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны $-0.5$. Это можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; -0.5]$

11 Для каждой системы неравенств укажите множество её решений.

А) $\begin{cases} x \ge -1 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases}$

Б) $\begin{cases} x \le 1 \\ x + 3 \le 0 \end{cases}$

В) $\begin{cases} x \ge -3 \\ 1 - x \le 0 \end{cases}$

1) -3, 1

2) -1, 3

3) 1

4) -3

А)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x \ge -1 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $.

Первое неравенство $x \ge -1$ определяет множество решений в виде луча $[-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$3 - x \ge 0$
Перенесем $x$ в правую часть неравенства, чтобы получить:
$3 \ge x$, что эквивалентно $x \le 3$.
Множество решений этого неравенства — луч $(-\infty, 3]$.

Решение системы — это пересечение множеств решений обоих неравенств. Нам нужны значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge -1$ и $x \le 3$.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le x \le 3$.
Полученное множество решений представляет собой отрезок $[-1, 3]$. На координатной прямой это отрезок, ограниченный точками -1 и 3, включая сами точки. Этому множеству соответствует рисунок под номером 2.

Ответ: 2

Б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x \le 1 \\ x + 3 \le 0 \end{cases} $.

Первое неравенство $x \le 1$ определяет множество решений в виде луча $(-\infty, 1]$.

Решим второе неравенство:
$x + 3 \le 0$
Перенесем 3 в правую часть неравенства:
$x \le -3$.
Множество решений этого неравенства — луч $(-\infty, -3]$.

Решением системы является пересечение множеств $x \le 1$ и $x \le -3$.
Если число меньше или равно -3, оно автоматически меньше или равно 1. Поэтому пересечением этих двух множеств будет более строгое условие $x \le -3$.
Полученное множество решений — это луч $(-\infty, -3]$. На координатной прямой это луч, идущий влево от точки -3, включая саму точку. Этому множеству соответствует рисунок под номером 4.

Ответ: 4

В)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x \ge -3 \\ 1 - x \le 0 \end{cases} $.

Первое неравенство $x \ge -3$ определяет множество решений в виде луча $[-3, +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$1 - x \le 0$
Перенесем $x$ в правую часть неравенства:
$1 \le x$, что эквивалентно $x \ge 1$.
Множество решений этого неравенства — луч $[1, +\infty)$.

Решением системы является пересечение множеств $x \ge -3$ и $x \ge 1$.
Если число больше или равно 1, оно автоматически больше или равно -3. Поэтому пересечением этих двух множеств будет более строгое условие $x \ge 1$.
Полученное множество решений — это луч $[1, +\infty)$. На координатной прямой это луч, идущий вправо от точки 1, включая саму точку. Этому множеству соответствует рисунок под номером 3.

Ответ: 3

12. Решите систему неравенств

$$\begin{cases}5x \ge 2x + 9 \\10 - 2x \le 8\end{cases}$$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

Решение первого неравенства:

$5x \ge 2x + 9$
Перенесем члены, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые члены — в правую. При переносе через знак неравенства знак члена меняется на противоположный.
$5x - 2x \ge 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x \ge 9$
Разделим обе части неравенства на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x \ge \frac{9}{3}$
$x \ge 3$
Решением первого неравенства является числовой промежуток $[3; +\infty)$.

Решение второго неравенства:

$10 - 2x \le 8$
Перенесем число 10 в правую часть с противоположным знаком:
$-2x \le 8 - 10$
$-2x \le -2$
Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «$\le$» на «$\ge$»):
$x \ge \frac{-2}{-2}$
$x \ge 1$
Решением второго неравенства является числовой промежуток $[1; +\infty)$.

Нахождение решения системы:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти такие значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x \ge 3$ и $x \ge 1$.
Если число больше или равно 3, то оно автоматически больше или равно 1. Таким образом, общим решением для обоих неравенств является $x \ge 3$.
На числовой оси это пересечение двух лучей: $[3; +\infty)$ и $[1; +\infty)$, их общая часть — это луч $[3; +\infty)$.

Ответ: $[3; +\infty)$.

13 Решите двойное неравенство $-5 < 1 - \frac{2-x}{3} < 5$.

Для решения двойного неравенства необходимо выполнить тождественные преобразования одновременно со всеми его частями. Цель — изолировать переменную $x$ в центральной части неравенства.

Исходное неравенство:

$-5 < 1 - \frac{2-x}{3} < 5$

1. Вычтем 1 из всех трёх частей неравенства, чтобы избавиться от единицы в центральной части.

$-5 - 1 < 1 - \frac{2-x}{3} - 1 < 5 - 1$

$-6 < -\frac{2-x}{3} < 4$

2. Умножим все части неравенства на -1. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$(-6) \cdot (-1) > \left(-\frac{2-x}{3}\right) \cdot (-1) > 4 \cdot (-1)$

$6 > \frac{2-x}{3} > -4$

3. Для удобства перепишем неравенство в стандартном виде, расположив числа в порядке возрастания (от меньшего к большему).

$-4 < \frac{2-x}{3} < 6$

4. Теперь умножим все части на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства остаются прежними.

$-4 \cdot 3 < \frac{2-x}{3} \cdot 3 < 6 \cdot 3$

$-12 < 2 - x < 18$

5. Вычтем 2 из всех частей, чтобы изолировать $-x$.

$-12 - 2 < 2 - x - 2 < 18 - 2$

$-14 < -x < 16$

6. На последнем шаге умножим все части на -1, чтобы найти $x$. Снова не забываем поменять знаки неравенства на противоположные.

$(-14) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) > 16 \cdot (-1)$

$14 > x > -16$

Запишем окончательное решение в стандартном виде:

$-16 < x < 14$

Это решение также можно представить в виде интервала $x \in (-16; 14)$.

Ответ: $-16 < x < 14$.

14 Решите систему неравенств $ \begin{cases} 3x \le x - 5 \\ 4x + 6 \le 0 \\ x + 1 \ge 3x + 5. \end{cases} $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3x \le x - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а постоянные слагаемые — в правую:

$3x - x \le -5$

$2x \le -5$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \le - \frac{5}{2}$

$x \le -2.5$

2. Решим второе неравенство:

$4x + 6 \le 0$

Перенесем 6 в правую часть с противоположным знаком:

$4x \le -6$

Разделим обе части на 4:

$x \le - \frac{6}{4}$

$x \le - \frac{3}{2}$

$x \le -1.5$

3. Решим третье неравенство:

$x + 1 \ge 3x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$1 - 5 \ge 3x - x$

$-4 \ge 2x$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства при этом не меняется:

$-2 \ge x$

Запишем это в более привычном виде:

$x \le -2$

4. Найдем пересечение решений.

Мы получили три условия, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x \le -2.5 \\ x \le -1.5 \\ x \le -2 \end{cases}$

Чтобы найти решение системы, нужно найти пересечение этих трех множеств. Если отметить эти промежутки на числовой оси, то их общей частью будет та, которая удовлетворяет самому строгому условию. Самое строгое условие — $x \le -2.5$, так как любое число, меньшее или равное $-2.5$, автоматически будет меньше $-2$ и меньше $-1.5$.

Следовательно, решением системы является промежуток $(-\infty; -2.5]$.

Ответ: $(-\infty; -2.5]$

15 Укажите целые решения системы неравенств $\begin{cases} 2x - \sqrt{3} > 0 \\ 3x - 8 < 0 \end{cases}$

Чтобы найти целые решения системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Исходная система неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - \sqrt{3} > 0 \\ 3x - 8 < 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$2x - \sqrt{3} > 0$

Переносим $\sqrt{3}$ в правую часть:

$2x > \sqrt{3}$

Делим обе части на 2:

$x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Решим второе неравенство:

$3x - 8 < 0$

Переносим -8 в правую часть:

$3x < 8$

Делим обе части на 3:

$x < \frac{8}{3}$

3. Объединяем решения. Решением системы является множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} < x < \frac{8}{3} $$

4. Найдём целые числа, которые лежат в полученном интервале. Для этого оценим значения границ.

Значение $\sqrt{3}$ находится в интервале $(1, 2)$, так как $1^2=1$ и $2^2=4$. Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.73$. Тогда левая граница $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.73}{2} = 0.865$.

Правую границу представим в виде десятичной дроби: $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.67$.

Таким образом, мы ищем целые числа $x$ в интервале $(0.865; 2.67)$.

Целые числа, которые больше $0.865$ и меньше $2.67$, это 1 и 2.

Ответ: 1, 2.

16 При каких значениях $a$ система неравенств $\begin{cases} 4x \le 10 \\ x - a \ge 0 \end{cases}$ имеет решения?

Для того чтобы система неравенств имела решения, необходимо найти такие значения параметра a, при которых существует хотя бы одно значение x, удовлетворяющее обоим неравенствам.

Рассмотрим данную систему:

$$ \begin{cases} 4x \le 10 \\ x - a \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство относительно переменной x.

1. Из первого неравенства получаем:

$4x \le 10$

Разделим обе части на 4:

$x \le \frac{10}{4}$

$x \le 2.5$

Решением этого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 2.5]$.

2. Из второго неравенства получаем:

$x - a \ge 0$

Перенесем a в правую часть:

$x \ge a$

Решением этого неравенства является числовой промежуток $[a; +\infty)$.

Система неравенств будет иметь решения, если пересечение этих двух промежутков не является пустым множеством. То есть, необходимо найти такие x, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \le 2.5$ и $x \ge a$.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$a \le x \le 2.5$

Такой промежуток для x существует и не является пустым множеством только в том случае, если его левая граница (a) не больше его правой границы (2.5). Следовательно, должно выполняться условие:

$a \le 2.5$

Если $a > 2.5$, то пересечение промежутков $(-\infty; 2.5]$ и $[a; +\infty)$ будет пустым, и система не будет иметь решений.

Ответ: $a \le 2.5$

17 На банке с краской имеется надпись $m = 5 \pm 0,05$ кг, где $m$ — масса краски. Как это условие можно записать в виде двойного неравенства?

Запись $m = 5 \pm 0,05$ кг означает, что значение массы m находится в определенном интервале. Номинальное значение массы равно 5 кг, а возможная погрешность (отклонение от номинального значения) составляет 0,05 кг. Это значит, что масса может быть как больше, так и меньше 5 кг на величину до 0,05 кг.

Для того чтобы записать это условие в виде двойного неравенства, необходимо найти минимальное и максимальное возможные значения массы.

1. Вычислим минимально возможное значение массы, вычитая погрешность из номинального значения:
$m_{min} = 5 - 0,05 = 4,95$ кг.

2. Вычислим максимально возможное значение массы, прибавляя погрешность к номинальному значению:
$m_{max} = 5 + 0,05 = 5,05$ кг.

Таким образом, масса краски m больше или равна 4,95 кг и меньше или равна 5,05 кг. Это и есть двойное неравенство.

Ответ: $4,95 \le m \le 5,05$

18 Сравните числа $\sqrt{8} + \sqrt{10}$ и 6.

Для того чтобы сравнить два положительных числа $\sqrt{8} + \sqrt{10}$ и $6$, можно сравнить их квадраты. Так как обе части будущего неравенства положительны, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится.

Предположим, что $\sqrt{8} + \sqrt{10} > 6$, и проверим это предположение, возведя обе части в квадрат.

1. Найдем квадрат первого числа: $(\sqrt{8} + \sqrt{10})^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{8} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 8 + 2\sqrt{8 \cdot 10} + 10 = 18 + 2\sqrt{80}$.

2. Найдем квадрат второго числа:

$6^2 = 36$.

3. Теперь сравним полученные выражения: $18 + 2\sqrt{80}$ и $36$.

Для этого вычтем из обоих выражений 18:

$18 + 2\sqrt{80} - 18$ и $36 - 18$

$2\sqrt{80}$ и $18$

Разделим оба выражения на 2:

$\sqrt{80}$ и $9$

4. Чтобы сравнить $\sqrt{80}$ и $9$, представим $9$ в виде корня: $9 = \sqrt{9^2} = \sqrt{81}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $80$ и $81$.

Очевидно, что $80 < 81$.

Это означает, что $\sqrt{80} < \sqrt{81}$, или $\sqrt{80} < 9$.

Поскольку мы получили знак "$<$", наше первоначальное предположение о знаке "$>$" было неверным. Проследим цепочку преобразований в обратном порядке с правильным знаком:

$\sqrt{80} < 9$

Умножим на 2:

$2\sqrt{80} < 18$

Прибавим 18:

$18 + 2\sqrt{80} < 36$

Заменим выражения их исходными квадратами:

$(\sqrt{8} + \sqrt{10})^2 < 6^2$

Поскольку исходные числа $\sqrt{8} + \sqrt{10}$ и $6$ положительны, из неравенства их квадратов следует такое же неравенство для самих чисел:

$\sqrt{8} + \sqrt{10} < 6$.

Ответ: $\sqrt{8} + \sqrt{10} < 6$.