Страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какие числа образуют множество действительных чисел? Приведите примеры чисел каждого вида.

Множество действительных чисел, обозначаемое как $ \mathbb{R} $, представляет собой объединение двух больших классов чисел: рациональных и иррациональных.

Рациональные числа ($ \mathbb{Q} $)

Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где числитель $ m $ — целое число ($ m \in \mathbb{Z} $), а знаменатель $ n $ — натуральное число ($ n \in \mathbb{N} $). В виде десятичной дроби рациональные числа являются либо конечными, либо бесконечными периодическими.

В свою очередь, рациональные числа делятся на:

1. Целые числа ($ \mathbb{Z} $). Это числа, не имеющие дробной части. Они включают:

- Натуральные числа ($ \mathbb{N} $): числа, используемые для счета. Примеры: $ 1, 2, 15, 1000 $.

- Число ноль: $ 0 $.

- Отрицательные целые числа: числа, противоположные натуральным. Примеры: $ -1, -5, -34 $.

2. Дробные рациональные числа. Это все рациональные числа, которые не являются целыми. Они могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей.

- Примеры (конечные дроби): $ 0.5 $ (это $ \frac{1}{2} $); $ -1.75 $ (это $ -\frac{7}{4} $); $ 3.14 $ (это $ \frac{314}{100} $).

- Примеры (бесконечные периодические дроби): $ \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3) $; $ \frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8(3) $.

Иррациональные числа ($ \mathbb{I} $)

Это числа, которые невозможно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $. Их десятичное представление — это бесконечная непериодическая дробь.

Примеры иррациональных чисел:

- Число Пи ($ \pi $), выражающее отношение длины окружности к ее диаметру. $ \pi \approx 3.14159265... $

- Число Эйлера ($ e $), основание натурального логарифма. $ e \approx 2.71828182... $

- Корни из чисел, не являющихся точными квадратами (или кубами и т.д.). $ \sqrt{2} \approx 1.41421356... $; $ \sqrt{5} \approx 2.23606797... $

Таким образом, любое число, которое можно отметить на числовой прямой, является действительным числом.

Ответ: Множество действительных чисел образуют рациональные числа (которые включают в себя натуральные, целые и дробные числа) и иррациональные числа. Примеры рациональных чисел: $7, -15, 0, \frac{2}{5}, 0.8, -1.(3)$. Примеры иррациональных чисел: $\sqrt{3}, \pi, e$.

2 Покажите схематически соотношения между множествами натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Вставьте знак $\in$ или $\notin$ так, чтобы получилось верное высказывание:

$-3 \ldots \mathbf{N}$, $-3 \ldots \mathbf{Z}$, $-3 \ldots \mathbf{R}$,

$10 \ldots \mathbf{N}$, $10 \ldots \mathbf{Z}$, $10 \ldots \mathbf{R}$,

$\sqrt{2} \ldots \mathbf{N}$, $\sqrt{2} \ldots \mathbf{Z}$, $\sqrt{2} \ldots \mathbf{R}$.

Схематическое соотношение множеств чисел

Соотношения между числовыми множествами можно представить в виде диаграммы Эйлера, где каждое последующее множество включает в себя все предыдущие. Эта иерархия выглядит следующим образом:

• $N$ — множество натуральных чисел (для счета: 1, 2, 3, ...).
• $Z$ — множество целых чисел (натуральные числа, им противоположные и ноль: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).
• $Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $m/n$, где $m \in Z, n \in N$).
• $R$ — множество действительных чисел (все рациональные и иррациональные числа, например $\sqrt{2}, \pi, e$).

Таким образом, любое натуральное число является одновременно и целым, и рациональным, и действительным. Любое целое число является рациональным и действительным, и так далее. Это можно записать с помощью знака включения множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

Схематически это выглядит так:

Вставка знаков принадлежности

Вставим знак $\in$ (принадлежит) или $\notin$ (не принадлежит) в выражения, чтобы они стали верными.

-3 ... N, -3 ... Z, -3 ... R

Число $-3$ — это отрицательное целое число. Множество натуральных чисел $N$ состоит только из положительных целых чисел, поэтому $-3$ ему не принадлежит. Множество целых чисел $Z$ включает в себя отрицательные целые числа, поэтому $-3$ ему принадлежит. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все целые числа, поэтому $-3$ ему также принадлежит.
Ответ: $-3 \notin N$, $-3 \in Z$, $-3 \in R$.

10 ... N, 10 ... Z, 10 ... R

Число $10$ — это натуральное число. Поскольку множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множеств $Z$ и $R$ ($N \subset Z \subset R$), то число $10$ принадлежит каждому из этих множеств.
Ответ: $10 \in N$, $10 \in Z$, $10 \in R$.

$\sqrt{2}$ ... N, $\sqrt{2}$ ... Z, $\sqrt{2}$ ... R

Число $\sqrt{2}$ — это иррациональное число (его нельзя представить в виде конечной или периодической десятичной дроби). $\sqrt{2}$ не является целым числом, поэтому оно не принадлежит ни множеству натуральных чисел $N$, ни множеству целых чисел $Z$. Множество действительных чисел $R$ состоит из рациональных и иррациональных чисел, поэтому $\sqrt{2}$ принадлежит множеству $R$.
Ответ: $\sqrt{2} \notin N$, $\sqrt{2} \notin Z$, $\sqrt{2} \in R$.

3 Что является «универсальным именем» для действительных чисел? Выпишите пять цифр бесконечной десятичной дроби, представляющей число $\sqrt{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{5}{12}$. (При необходимости воспользуйтесь калькулятором.)

«Универсальным именем» для действительных чисел является их представление в виде бесконечной десятичной дроби. Любое действительное число, будь то рациональное (представимое в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число) или иррациональное, может быть записано как бесконечная десятичная дробь.

• Рациональные числа представляются либо конечными десятичными дробями (которые дополняются бесконечным количеством нулей, например, $\frac{1}{2} = 0.5 = 0.5000...$), либо бесконечными периодическими дробями (например, $\frac{1}{3} = 0.333...$).
• Иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, $\pi \approx 3.14159...$).

Таким образом, запись в виде бесконечной десятичной дроби является универсальной для всех действительных чисел.

Теперь выпишем первые пять цифр бесконечной десятичной дроби для каждого из заданных чисел.

$\sqrt{3}$

Число $\sqrt{3}$ является иррациональным. Его десятичное представление — это бесконечная непериодическая дробь. С помощью калькулятора находим его приближенное значение: $\sqrt{3} \approx 1.7320508...$ Первыми пятью цифрами этой дроби являются 1, 7, 3, 2, 0.

Ответ: 1, 7, 3, 2, 0.

$\frac{1}{4}$

Число $\frac{1}{4}$ является рациональным. Преобразуем его в десятичную дробь: $\frac{1}{4} = 0.25$. Чтобы представить это число в виде бесконечной десятичной дроби, мы дописываем справа бесконечное количество нулей: $0.25000...$ Первыми пятью цифрами этой дроби являются 0, 2, 5, 0, 0.

Ответ: 0, 2, 5, 0, 0.

$\frac{5}{12}$

Число $\frac{5}{12}$ является рациональным. Преобразуем его в десятичную дробь, разделив 5 на 12: $5 \div 12 = 0.41666... = 0.41(6)$. Мы получили бесконечную периодическую десятичную дробь. Первыми пятью цифрами этой дроби являются 0, 4, 1, 6, 6.

Ответ: 0, 4, 1, 6, 6.

4 Приведите пример строгого числового неравенства, нестрогого числового неравенства. Прочитайте разными способами неравенство и определите, верно ли оно: $34 \le 100$; $12 \ge 12$; $10 \le 7$.

Приведите пример строгого числового неравенства

Строгое числовое неравенство — это неравенство, в котором используются знаки «больше» ($>$) или «меньше» ($<$). Эти знаки исключают возможность равенства между левой и правой частями.

Пример такого неравенства: $15 > 8$. Это верное неравенство, так как число 15 действительно больше числа 8.

Ответ: $15 > 8$.

Приведите пример нестрогого числового неравенства

Нестрогое числовое неравенство — это неравенство, в котором используются знаки «больше или равно» ($\ge$) или «меньше или равно» ($\le$). Эти знаки допускают как строгое неравенство, так и равенство.

Пример такого неравенства: $7 \le 7$. Это неравенство верно, так как выполняется условие равенства ($7 = 7$).

Ответ: $7 \le 7$.

Прочитайте разными способами неравенство и определите, верно ли оно: $34 \le 100$

Способы прочтения неравенства $34 \le 100$:

• Тридцать четыре меньше или равно ста.
• Тридцать четыре не больше ста.

Нестрогое неравенство вида $a \le b$ считается верным, если выполняется хотя бы одно из двух утверждений: $a < b$ или $a = b$.

В данном случае $34 < 100$ (тридцать четыре меньше ста) — это верное утверждение. Следовательно, всё неравенство $34 \le 100$ является верным.

Ответ: Неравенство верное.

Прочитайте разными способами неравенство и определите, верно ли оно: $12 \ge 12$

Способы прочтения неравенства $12 \ge 12$:

• Двенадцать больше или равно двенадцати.
• Двенадцать не меньше двенадцати.

Нестрогое неравенство вида $a \ge b$ считается верным, если выполняется хотя бы одно из двух утверждений: $a > b$ или $a = b$.

В данном случае $12 > 12$ — неверное утверждение, однако $12 = 12$ — верное. Так как одно из условий выполнено, всё неравенство $12 \ge 12$ является верным.

Ответ: Неравенство верное.

Прочитайте разными способами неравенство и определите, верно ли оно: $10 \le 7$

Способы прочтения неравенства $10 \le 7$:

• Десять меньше или равно семи.
• Десять не больше семи.

Нестрогое неравенство вида $a \le b$ считается верным, если выполняется хотя бы одно из двух утверждений: $a < b$ или $a = b$.

В данном случае оба утверждения — $10 < 7$ (десять меньше семи) и $10 = 7$ (десять равно семи) — являются ложными. Следовательно, всё неравенство $10 \le 7$ является неверным.

Ответ: Неравенство неверное.

5 Какие свойства неравенств вы знаете? Запишите их с помощью букв и дайте словесные формулировки. Какие из этих свойств аналогичны свойствам равенств? Какие различаются и в чём состоят эти различия?

Какие свойства неравенств вы знаете? Запишите их с помощью букв и дайте словесные формулировки.

Основные свойства числовых неравенств (для примера используется знак $>$, но аналогичные свойства справедливы и для знаков $<$, $\geq$ и $\leq$):

• 1. Транзитивность.

  Словесная формулировка: Если одно число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего.

  Буквенная запись: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

• 2. Прибавление числа к обеим частям неравенства.

  Словесная формулировка: Если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство.

  Буквенная запись: Если $a > b$, то для любого числа $c$ верно $a + c > b + c$.

• 3. Умножение (деление) на положительное число.

  Словесная формулировка: Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

  Буквенная запись: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.

• 4. Умножение (деление) на отрицательное число.

  Словесная формулировка: Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

  Буквенная запись: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

• 5. Почленное сложение неравенств.

  Словесная формулировка: При почленном сложении верных неравенств одного знака результатом будет верное неравенство того же знака.

  Буквенная запись: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

• 6. Почленное умножение неравенств.

  Словесная формулировка: При почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых все части положительны, результатом будет верное неравенство того же знака.

  Буквенная запись: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Ответ: Основные свойства неравенств включают транзитивность, возможность прибавления к обеим частям одного и того же числа, правила умножения на положительное и отрицательное число, а также правила почленного сложения и умножения неравенств.

Какие из этих свойств аналогичны свойствам равенств?

Свойства равенств и неравенств во многом схожи. Аналогичными являются следующие свойства:

• Транзитивность: Как и для неравенств, для равенств верно: если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$.

• Прибавление (вычитание) числа к обеим частям: Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число, получится верное равенство: если $a = b$, то $a + c = b + c$. Это полностью аналогично свойству неравенств.

• Умножение (деление) на одно и то же положительное число: Это свойство также аналогично: если $a=b$ и $c>0$, то $ac = bc$.

• Почленное сложение: Равенства, как и неравенства одного знака, можно почленно складывать: если $a=b$ и $c=d$, то $a+c=b+d$.

• Почленное умножение: Равенства, как и неравенства с положительными частями, можно почленно перемножать: если $a=b$ и $c=d$, то $ac=bd$.

Ответ: Свойствам равенств аналогичны свойства транзитивности, прибавления к обеим частям одного и того же числа, умножения на положительное число, а также почленное сложение и умножение.

Какие различаются и в чём состоят эти различия?

Несмотря на сходства, существуют и ключевые различия между свойствами равенств и неравенств.

1. Симметричность. Равенства обладают свойством симметричности: если $a = b$, то $b = a$. Неравенства этим свойством не обладают. Для них характерна антисимметричность: если $a > b$, то $b < a$. Знак отношения меняется на противоположный.

2. Умножение (деление) на отрицательное число. Это самое важное практическое различие. При умножении или делении обеих частей верного равенства на любое ненулевое число (в том числе отрицательное), равенство сохраняется: если $a = b$ и $c \neq 0$, то $ac = bc$. В случае с неравенствами, при умножении или делении на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

3. Возведение в степень. Обе части равенства можно возводить в любую натуральную степень: если $a=b$, то $a^n=b^n$. С неравенствами это можно делать лишь при определенных условиях. Например, если обе части неравенства неотрицательны, то их можно возвести в любую натуральную степень с сохранением знака неравенства: если $a > b \geq 0$, то $a^n > b^n$. Если же части неравенства разных знаков или обе отрицательны, то простое возведение в степень без дополнительного анализа может привести к неверному результату.

Ответ: Основные различия заключаются в отсутствии у неравенств свойства симметричности (вместо него — антисимметричность) и в необходимости менять знак неравенства на противоположный при умножении или делении на отрицательное число. Также существуют различия при возведении в степень.

6 Укажите несколько чисел, являющихся решениями неравенства $2x + 10 < 3$, и несколько чисел, не являющихся его решениями.

Чтобы найти числа, которые являются и не являются решениями неравенства, сначала решим само неравенство $2x + 10 < 3$.

1. Перенесем 10 из левой части в правую, изменив знак:

$2x < 3 - 10$

2. Выполним вычитание в правой части:

$2x < -7$

3. Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x < -\frac{7}{2}$

4. Представим дробь в виде десятичного числа для удобства:

$x < -3.5$

Решениями неравенства являются все числа, которые строго меньше -3.5. Теперь мы можем привести конкретные примеры.

Несколько чисел, являющихся решениями неравенства

Нужно выбрать любые числа, удовлетворяющие условию $x < -3.5$. Возьмем, к примеру, числа -4, -6 и -10. Подставим их в исходное неравенство, чтобы убедиться, что они являются решениями.
При $x = -4$: $2(-4) + 10 = -8 + 10 = 2$. Неравенство $2 < 3$ истинно.
При $x = -6$: $2(-6) + 10 = -12 + 10 = -2$. Неравенство $-2 < 3$ истинно.
При $x = -10$: $2(-10) + 10 = -20 + 10 = -10$. Неравенство $-10 < 3$ истинно.
Все выбранные числа являются решениями.
Ответ: -4, -6, -10.

Несколько чисел, не являющихся его решениями

Нужно выбрать любые числа, которые не удовлетворяют условию $x < -3.5$, то есть числа, для которых выполняется условие $x \ge -3.5$. Возьмем, к примеру, числа -3, 0 и 1.
При $x = -3$: $2(-3) + 10 = -6 + 10 = 4$. Неравенство $4 < 3$ ложно.
При $x = 0$: $2(0) + 10 = 0 + 10 = 10$. Неравенство $10 < 3$ ложно.
При $x = 1$: $2(1) + 10 = 2 + 10 = 12$. Неравенство $12 < 3$ ложно.
Все выбранные числа не являются решениями.
Ответ: -3, 0, 1.

7 Какие уравнения называют равносильными? Объясните, почему равносильны уравнения:

$3x + 7 = 1$ и $3x = -6;$

$\frac{1}{2}x - 3 = \frac{1}{4}x$ и $2x - 12 = x.$

Равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые множества корней (решений). Иными словами, если каждый корень первого уравнения является корнем второго, и каждый корень второго уравнения является корнем первого, то такие уравнения равносильны. Также равносильными считаются уравнения, которые не имеют корней.

$3x + 7 = 1$ и $3x = -6$
Чтобы доказать равносильность этих уравнений, найдем их корни.
Решим первое уравнение $3x + 7 = 1$.
Выполним равносильное преобразование: перенесем число 7 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.
$3x = 1 - 7$
$3x = -6$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-6}{3}$
$x = -2$
Корень первого уравнения: $x = -2$.

Теперь решим второе уравнение $3x = -6$.
Разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-6}{3}$
$x = -2$
Корень второго уравнения также $x = -2$.
Так как множества корней обоих уравнений совпадают (состоят из одного числа, -2), то уравнения являются равносильными.
Ответ: Уравнения равносильны, поскольку имеют одинаковый корень $x = -2$.

$\frac{1}{2}x - 3 = \frac{1}{4}x$ и $2x - 12 = x$
Докажем равносильность, найдя корни каждого уравнения.
Решим первое уравнение $\frac{1}{2}x - 3 = \frac{1}{4}x$.
Применим равносильное преобразование: умножим обе части уравнения на 4 (наименьший общий знаменатель дробей), чтобы избавиться от них.
$4 \cdot (\frac{1}{2}x - 3) = 4 \cdot (\frac{1}{4}x)$
$4 \cdot \frac{1}{2}x - 4 \cdot 3 = 1 \cdot x$
$2x - 12 = x$
На этом шаге мы получили в точности второе уравнение ($2x - 12 = x$), что само по себе доказывает равносильность исходных уравнений, так как мы использовали только равносильные преобразования. Продолжим решение, чтобы найти корень.
$2x - x = 12$
$x = 12$
Корень первого уравнения: $x = 12$.

Решим второе уравнение $2x - 12 = x$.
Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа - в другую.
$2x - x = 12$
$x = 12$
Корень второго уравнения также $x = 12$.
Поскольку корни обоих уравнений одинаковы, уравнения равносильны.
Ответ: Уравнения равносильны, поскольку имеют одинаковый корень $x = 12$.

8 Какие неравенства называют равносильными? Сформулируйте правила, позволяющие переходить от одного неравенства к другому, ему равносильному. Объясните каждый шаг в решении неравенства: $2 - 5x < 7; -5x < 5; x > -1$.

Какие неравенства называют равносильными?
Два неравенства с одной переменной называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое число, являющееся решением одного неравенства, также является решением и второго неравенства, и наоборот. Неравенства, которые не имеют решений, также считаются равносильными друг другу.
Ответ: Равносильными называют неравенства, у которых множества решений полностью совпадают.

Сформулируйте правила, позволяющие переходить от одного неравенства к другому, ему равносильному.
При решении неравенств используются следующие правила, позволяющие выполнять равносильные преобразования:
Правило 1: Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование равносильно прибавлению к обеим частям неравенства одного и того же числа или выражения.
Правило 2: Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. При этом знак неравенства сохраняется.
Правило 3: Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный (например, $<$ на $>$, а $\le$ на $\ge$).
Ответ: Основные правила равносильных преобразований: 1) перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака; 2) умножение или деление обеих частей на одно и то же положительное число; 3) умножение или деление обеих частей на одно и то же отрицательное число с обязательным изменением знака неравенства на противоположный.

Объясните каждый шаг в решении неравенства: $2 - 5x < 7; \quad -5x < 5; \quad x > -1$.
Решение неравенства $2 - 5x < 7$ выполнено в два шага, каждый из которых является равносильным преобразованием.

Шаг 1: Переход от $2 - 5x < 7$ к $-5x < 5$.
В исходном неравенстве $2 - 5x < 7$ мы переносим слагаемое $2$ из левой части в правую. Согласно правилу 1, при переносе знак слагаемого меняется на противоположный. Это равносильно вычитанию числа $2$ из обеих частей неравенства:
$(2 - 5x) - 2 < 7 - 2$
$-5x < 5$
Таким образом, мы получили неравенство $-5x < 5$, равносильное исходному.

Шаг 2: Переход от $-5x < 5$ к $x > -1$.
Теперь, чтобы найти $x$, мы должны разделить обе части неравенства $-5x < 5$ на коэффициент при $x$, то есть на $-5$. Согласно правилу 3, при делении на отрицательное число ($-5$) знак неравенства $<$ необходимо изменить на противоположный, то есть на $>$.
$\frac{-5x}{-5} > \frac{5}{-5}$
$x > -1$
В результате мы получили решение $x > -1$, которое является множеством решений для всех трех равносильных неравенств.

Ответ: Первый переход ($2 - 5x < 7 \rightarrow -5x < 5$) выполнен с помощью переноса слагаемого $2$ в правую часть с изменением знака. Второй переход ($-5x < 5 \rightarrow x > -1$) выполнен путем деления обеих частей на отрицательное число $-5$ и смены знака неравенства на противоположный. Оба преобразования являются равносильными.

9 Покажите на примерах систем $\begin{cases} x < 2 \\ x < 3 \end{cases}$ и $\begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$, как с помощью координатной прямой находят множество решений системы неравенств.

Чтобы найти множество решений системы неравенств с помощью координатной прямой, необходимо для каждого неравенства в системе найти его множество решений на прямой, а затем найти пересечение этих множеств. Пересечением будет являться та часть прямой, которая удовлетворяет всем неравенствам системы одновременно.

$\begin{cases} x < 2 \\ x < 3 \end{cases}$

1. Начертим координатную прямую. Отметим на ней точки 2 и 3. Так как неравенства строгие (знаки $ < $), точки будут выколотыми (обозначаются пустыми кружками).

2. Отметим на прямой множество решений первого неравенства $x < 2$. Это все числа, расположенные левее точки 2. Заштрихуем этот промежуток.

3. Отметим на той же прямой множество решений второго неравенства $x < 3$. Это все числа, расположенные левее точки 3. Заштрихуем этот промежуток.

4. Решением системы является пересечение этих двух множеств. На прямой это область, где обе штриховки совпадают. В данном случае это промежуток левее точки 2.

Таким образом, решением системы является интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$

$\begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$

1. Начертим координатную прямую и отметим на ней выколотые точки 2 и 3.

2. Отметим множество решений первого неравенства $x > 2$. Это все числа, расположенные правее точки 2. Заштрихуем этот промежуток.

3. Отметим множество решений второго неравенства $x < 3$. Это все числа, расположенные левее точки 3. Заштрихуем этот промежуток.

4. Пересечением этих двух множеств является общая заштрихованная область. В данном случае это промежуток между точками 2 и 3.

Таким образом, решением системы является интервал $(2; 3)$.

Ответ: $x \in (2; 3)$