Номер 8, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 1. Неравенства - номер 8, страница 68.

8 Какие неравенства называют равносильными? Сформулируйте правила, позволяющие переходить от одного неравенства к другому, ему равносильному. Объясните каждый шаг в решении неравенства: $2 - 5x < 7; -5x < 5; x > -1$.

Какие неравенства называют равносильными?
Два неравенства с одной переменной называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое число, являющееся решением одного неравенства, также является решением и второго неравенства, и наоборот. Неравенства, которые не имеют решений, также считаются равносильными друг другу.
Ответ: Равносильными называют неравенства, у которых множества решений полностью совпадают.

Сформулируйте правила, позволяющие переходить от одного неравенства к другому, ему равносильному.
При решении неравенств используются следующие правила, позволяющие выполнять равносильные преобразования:
Правило 1: Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование равносильно прибавлению к обеим частям неравенства одного и того же числа или выражения.
Правило 2: Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. При этом знак неравенства сохраняется.
Правило 3: Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный (например, $<$ на $>$, а $\le$ на $\ge$).
Ответ: Основные правила равносильных преобразований: 1) перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака; 2) умножение или деление обеих частей на одно и то же положительное число; 3) умножение или деление обеих частей на одно и то же отрицательное число с обязательным изменением знака неравенства на противоположный.

Объясните каждый шаг в решении неравенства: $2 - 5x < 7; \quad -5x < 5; \quad x > -1$.
Решение неравенства $2 - 5x < 7$ выполнено в два шага, каждый из которых является равносильным преобразованием.

Шаг 1: Переход от $2 - 5x < 7$ к $-5x < 5$.
В исходном неравенстве $2 - 5x < 7$ мы переносим слагаемое $2$ из левой части в правую. Согласно правилу 1, при переносе знак слагаемого меняется на противоположный. Это равносильно вычитанию числа $2$ из обеих частей неравенства:
$(2 - 5x) - 2 < 7 - 2$
$-5x < 5$
Таким образом, мы получили неравенство $-5x < 5$, равносильное исходному.

Шаг 2: Переход от $-5x < 5$ к $x > -1$.
Теперь, чтобы найти $x$, мы должны разделить обе части неравенства $-5x < 5$ на коэффициент при $x$, то есть на $-5$. Согласно правилу 3, при делении на отрицательное число ($-5$) знак неравенства $<$ необходимо изменить на противоположный, то есть на $>$.
$\frac{-5x}{-5} > \frac{5}{-5}$
$x > -1$
В результате мы получили решение $x > -1$, которое является множеством решений для всех трех равносильных неравенств.

Ответ: Первый переход ($2 - 5x < 7 \rightarrow -5x < 5$) выполнен с помощью переноса слагаемого $2$ в правую часть с изменением знака. Второй переход ($-5x < 5 \rightarrow x > -1$) выполнен путем деления обеих частей на отрицательное число $-5$ и смены знака неравенства на противоположный. Оба преобразования являются равносильными.