Номер 1, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 1. Неравенства - номер 1, страница 68.

1 Какие числа образуют множество действительных чисел? Приведите примеры чисел каждого вида.

Множество действительных чисел, обозначаемое как $ \mathbb{R} $, представляет собой объединение двух больших классов чисел: рациональных и иррациональных.

Рациональные числа ($ \mathbb{Q} $)

Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где числитель $ m $ — целое число ($ m \in \mathbb{Z} $), а знаменатель $ n $ — натуральное число ($ n \in \mathbb{N} $). В виде десятичной дроби рациональные числа являются либо конечными, либо бесконечными периодическими.

В свою очередь, рациональные числа делятся на:

1. Целые числа ($ \mathbb{Z} $). Это числа, не имеющие дробной части. Они включают:

- Натуральные числа ($ \mathbb{N} $): числа, используемые для счета. Примеры: $ 1, 2, 15, 1000 $.

- Число ноль: $ 0 $.

- Отрицательные целые числа: числа, противоположные натуральным. Примеры: $ -1, -5, -34 $.

2. Дробные рациональные числа. Это все рациональные числа, которые не являются целыми. Они могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей.

- Примеры (конечные дроби): $ 0.5 $ (это $ \frac{1}{2} $); $ -1.75 $ (это $ -\frac{7}{4} $); $ 3.14 $ (это $ \frac{314}{100} $).

- Примеры (бесконечные периодические дроби): $ \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3) $; $ \frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8(3) $.

Иррациональные числа ($ \mathbb{I} $)

Это числа, которые невозможно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $. Их десятичное представление — это бесконечная непериодическая дробь.

Примеры иррациональных чисел:

- Число Пи ($ \pi $), выражающее отношение длины окружности к ее диаметру. $ \pi \approx 3.14159265... $

- Число Эйлера ($ e $), основание натурального логарифма. $ e \approx 2.71828182... $

- Корни из чисел, не являющихся точными квадратами (или кубами и т.д.). $ \sqrt{2} \approx 1.41421356... $; $ \sqrt{5} \approx 2.23606797... $

Таким образом, любое число, которое можно отметить на числовой прямой, является действительным числом.

Ответ: Множество действительных чисел образуют рациональные числа (которые включают в себя натуральные, целые и дробные числа) и иррациональные числа. Примеры рациональных чисел: $7, -15, 0, \frac{2}{5}, 0.8, -1.(3)$. Примеры иррациональных чисел: $\sqrt{3}, \pi, e$.