Номер 190, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Решение неравенств и систем неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 190, страница 66.

190 Сколько целых решений имеет система неравенств:

а) $\begin{cases} x\sqrt{2} < \frac{\sqrt{18}}{2} \\ 1 - \frac{4 - 3x}{5} > 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{x+2}{3} < 0 \\ x + \sqrt{27} < \sqrt{12} \end{cases}$

a)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:

$x\sqrt{2} < \frac{\sqrt{18}}{2}$

Упростим выражение в правой части. Так как $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, неравенство принимает вид:

$x\sqrt{2} < \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2} > 0$, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{3}{2}$

$x < 1.5$

2. Второе неравенство:

$1 - \frac{4-3x}{5} > 0$

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5 \cdot \left(1 - \frac{4-3x}{5}\right) > 5 \cdot 0$

$5 - (4-3x) > 0$

Раскроем скобки:

$5 - 4 + 3x > 0$

$1 + 3x > 0$

$3x > -1$

$x > -\frac{1}{3}$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} x < 1.5 \\ x > -\frac{1}{3} \end{array} \right.$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $-\frac{1}{3} < x < 1.5$.

Нас интересуют целые решения. Целые числа, которые находятся в интервале $(-\frac{1}{3}; 1.5)$, это 0 и 1. Всего таких чисел два.

Ответ: 2.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:

$\frac{x}{4} - \frac{x+2}{3} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3x}{12} - \frac{4(x+2)}{12} < 0$

$\frac{3x - 4(x+2)}{12} < 0$

Умножим обе части на 12. Знак неравенства не изменится:

$3x - 4(x+2) < 0$

$3x - 4x - 8 < 0$

$-x - 8 < 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$-8 < x$ или $x > -8$

2. Второе неравенство:

$x + \sqrt{27} < \sqrt{12}$

Упростим корни: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ и $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Неравенство принимает вид:

$x + 3\sqrt{3} < 2\sqrt{3}$

Вычтем $3\sqrt{3}$ из обеих частей:

$x < 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$

$x < -\sqrt{3}$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} x > -8 \\ x < -\sqrt{3} \end{array} \right.$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $-8 < x < -\sqrt{3}$.

Чтобы найти целые решения, оценим значение $-\sqrt{3}$. Так как $1^2=1$ и $2^2=4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Более точно, $\sqrt{3} \approx 1.732$, значит $-\sqrt{3} \approx -1.732$.

Ищем целые числа $x$ в интервале $(-8; -1.732...)$. Такими числами являются: -7, -6, -5, -4, -3, -2. Всего их 6.

Ответ: 6.