Номер 184, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Решение неравенств и систем неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 184, страница 65.

184 a) При каких целых неотрицательных значениях x верно неравенство

$3x - \frac{9x + 8}{4} < \frac{1}{2}?$

б) При каких целых отрицательных значениях x верно неравенство

$x + \frac{1 - x}{3} \ge \frac{x - 12}{6}?$

а) При каких целых неотрицательных значениях x верно неравенство $3x - \frac{9x + 8}{4} < \frac{1}{2}$?

Сначала решим данное линейное неравенство. Для этого избавимся от знаменателей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, то есть на 4. Знак неравенства при этом не изменится, так как мы умножаем на положительное число.

$4 \cdot \left(3x - \frac{9x + 8}{4}\right) < 4 \cdot \frac{1}{2}$

$4 \cdot 3x - 4 \cdot \frac{9x + 8}{4} < 2$

$12x - (9x + 8) < 2$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные.

$12x - 9x - 8 < 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 8 < 2$

Перенесем число -8 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$3x < 2 + 8$

$3x < 10$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x < \frac{10}{3}$

Представим дробь $\frac{10}{3}$ в виде смешанного числа: $x < 3\frac{1}{3}$.

Теперь, согласно условию задачи, нам нужно найти все целые неотрицательные значения $x$, удовлетворяющие этому неравенству. Целые неотрицательные числа — это 0, 1, 2, 3, ... .

Выберем из этого ряда числа, которые меньше $3\frac{1}{3}$. Это числа 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

б) При каких целых отрицательных значениях x верно неравенство $x + \frac{1 - x}{3} \ge \frac{x - 12}{6}$?

Решим данное неравенство. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6.

$6 \cdot \left(x + \frac{1 - x}{3}\right) \ge 6 \cdot \left(\frac{x - 12}{6}\right)$

$6 \cdot x + 6 \cdot \frac{1 - x}{3} \ge x - 12$

$6x + 2(1 - x) \ge x - 12$

Раскроем скобки в левой части:

$6x + 2 - 2x \ge x - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x + 2 \ge x - 12$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе.

$4x - x \ge -12 - 2$

$3x \ge -14$

Разделим обе части на 3:

$x \ge -\frac{14}{3}$

Представим дробь $-\frac{14}{3}$ в виде смешанного числа: $x \ge -4\frac{2}{3}$.

По условию задачи, нам нужно найти все целые отрицательные значения $x$. Целые отрицательные числа — это ..., -4, -3, -2, -1.

Выберем из этого ряда числа, которые удовлетворяют условию $x \ge -4\frac{2}{3}$. Такими числами являются -4, -3, -2, -1.

Ответ: -4, -3, -2, -1.