Номер 180, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Числа рациональные и иррациональные. Глава 1. Неравенства - номер 180, страница 64.

180 Решите уравнение:

а) $x^2 = 8$;

б) $x^2 - 5 = 11$;

в) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$;

г) $x^3 - 2x = 0.

Какое из уравнений имеет как рациональные, так и иррациональные корни?

а) $x^2 = 8$

Для решения данного уравнения необходимо извлечь квадратный корень из обеих его частей:

$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим значение корня, разложив подкоренное выражение на множители:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$

Ответ: $x = \pm2\sqrt{2}$

б) $x^2 - 5 = 11$

Сначала изолируем $x^2$ в левой части уравнения, перенеся -5 в правую часть с противоположным знаком:

$x^2 = 11 + 5$

$x^2 = 16$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{16}$

Корни уравнения:

$x_1 = 4$ и $x_2 = -4$

Ответ: $x = \pm4$

в) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 6y + 9 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(y - 3)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$y - 3 = 0$

$y = 3$

Полученное значение $y=3$ удовлетворяет условию $y \ge 0$. Вернемся к замене:

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{3}$

Корни уравнения:

$x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$

г) $x^3 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

Таким образом, уравнение имеет три корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$

Ответ: $x_1 = 0, x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$

Какое из уравнений имеет как рациональные, так и иррациональные корни?

Проанализируем полученные решения:

В уравнении а) корни $\pm2\sqrt{2}$ являются иррациональными числами.

В уравнении б) корни $\pm4$ являются рациональными числами.

В уравнении в) корни $\pm\sqrt{3}$ являются иррациональными числами.

В уравнении г) получены корни $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$. Корень $0$ является рациональным числом, а корни $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ — иррациональными.

Следовательно, уравнение из пункта г) имеет как рациональные, так и иррациональные корни.

Ответ: уравнение г) $x^3 - 2x = 0$.