Номер 178, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Числа рациональные и иррациональные. Глава 1. Неравенства - номер 178, страница 64.

178 На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 1.29). Расположите в порядке возрастания числа $a$, $\frac{1}{a}$ и $a^2$.

Рис. 1.29

На основе предоставленного изображения мы видим, что число $a$ расположено на координатной прямой между 0 и 1. Это означает, что $a$ является положительным числом, которое меньше единицы. Данное условие можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$.

Чтобы расположить числа $a$, $\frac{1}{a}$ и $a^2$ в порядке возрастания, сравним их между собой, используя свойство $0 < a < 1$.

1. Сравним $a$ и $a^2$.
Поскольку $a$ — это положительное число, меньшее 1, то при умножении такого числа на само себя результат будет меньше исходного числа. Чтобы доказать это строго, возьмем правую часть неравенства $a < 1$ и умножим обе части на $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства не изменится:
$a \cdot a < 1 \cdot a$
$a^2 < a$
Таким образом, $a^2$ — самое маленькое из этих двух чисел.

2. Сравним $a$ и $\frac{1}{a}$.
Поскольку $0 < a < 1$, число, обратное к $a$, то есть $\frac{1}{a}$, будет больше 1. Чтобы доказать это, разделим обе части неравенства $a < 1$ на положительное число $a$:
$\frac{a}{a} < \frac{1}{a}$
$1 < \frac{1}{a}$
Итак, мы имеем $a < 1$ и в то же время $\frac{1}{a} > 1$. Из этого напрямую следует, что $a < \frac{1}{a}$.

3. Итоговое расположение.
Мы установили, что $a^2 < a$ и $a < \frac{1}{a}$. Объединив эти два неравенства, мы получаем общую упорядоченную последовательность:
$a^2 < a < \frac{1}{a}$

Следовательно, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $a^2$, $a$, $\frac{1}{a}$.

Ответ: $a^2, a, \frac{1}{a}$.