Номер 172, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Ещё о средних. Глава 1. Неравенства - номер 172, страница 63.

172 Докажите, что среднее геометрическое двух положительных чисел всегда не меньше среднего гармонического этих чисел.

Пусть даны два произвольных положительных числа $a$ и $b$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Определим среднее геометрическое ($G$) и среднее гармоническое ($H$) этих чисел:
Среднее геометрическое: $G = \sqrt{ab}$
Среднее гармоническое: $H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Нам необходимо доказать, что $G \ge H$. Запишем это неравенство в развернутом виде:
$\sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Сначала упростим выражение для среднего гармонического, приведя дроби в знаменателе к общему знаменателю:
$H = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь доказываемое неравенство принимает вид:
$\sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}$

Поскольку по условию числа $a$ и $b$ положительные, то и выражения $a+b$ и $\sqrt{ab}$ также строго положительны. Это позволяет нам выполнять равносильные преобразования неравенства. Умножим обе части на $(a+b)$ и разделим на $\sqrt{ab}$, знаки неравенства при этом не изменятся:
$\sqrt{ab}(a+b) \ge 2ab$
$a+b \ge \frac{2ab}{\sqrt{ab}}$
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

Последнее неравенство является известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел (неравенство Коши). Чтобы доказать его, перенесём все члены в левую часть:
$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

Левая часть представляет собой формулу полного квадрата разности для выражений $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$:
$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$

Таким образом, мы приходим к неравенству:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$

Это неравенство является истинным, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается в том и только в том случае, когда $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$, то есть при $a=b$.

Поскольку все выполненные нами преобразования были равносильными для положительных $a$ и $b$, то и исходное неравенство, утверждающее, что среднее геометрическое не меньше среднего гармонического, является верным.

Ответ: что и требовалось доказать.