Номер 168, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 168, страница 60.

168 Укажите два рациональных и два иррациональных числа, заключённые между числами 3 и 3,01.

Два рациональных числа
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Конечные и периодические десятичные дроби являются рациональными. Чтобы найти два рациональных числа между 3 и 3,01, достаточно выбрать любые две конечные десятичные дроби, которые больше 3 и меньше 3,01.
Например, выберем числа 3,002 и 3,007.
Оба числа являются конечными десятичными дробями, а значит, рациональными. Число 3,002 можно записать как $\frac{3002}{1000}$, а 3,007 как $\frac{3007}{1000}$.
Проверим, что они лежат в заданном интервале:
$3 < 3,002 < 3,01$
$3 < 3,007 < 3,01$
Оба неравенства верны.
Ответ: 3,002 и 3,007.

Два иррациональных числа
Иррациональные числа — это вещественные числа, которые не являются рациональными. Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.
Один из способов найти иррациональное число в интервале $(3; 3,01)$ — это извлечь квадратный корень из числа, не являющегося полным квадратом, которое лежит между квадратами концов интервала.
Возведем концы интервала в квадрат: $3^2 = 9$ и $(3,01)^2 = 9,0601$.
Нам нужно найти число $a$ такое, что $9 < a < 9,0601$, и $a$ не является полным квадратом. Тогда число $\sqrt{a}$ будет иррациональным и будет лежать в интервале $(3; 3,01)$.
Выберем два таких числа, например, 9,03 и 9,04.
Так как $9 < 9,03 < 9,0601$, то $3 < \sqrt{9,03} < 3,01$.
Так как $9 < 9,04 < 9,0601$, то $3 < \sqrt{9,04} < 3,01$.
Числа 9,03 и 9,04 не являются полными квадратами, поэтому $\sqrt{9,03}$ и $\sqrt{9,04}$ — иррациональные числа.
Ответ: $\sqrt{9,03}$ и $\sqrt{9,04}$.