Страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

166 В старых учебниках арифметики формулировалось специальное правило перевода периодической дроби в обыкновенную дробь:

«Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную, надо в её числителе записать период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде (например, $0,(13) = \frac{13}{99}$).

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и разделить полученную разность на число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр после запятой до первого периода (например, $0,5(13) = \frac{513-5}{990} = \frac{508}{990} = \frac{254}{495}$).»

Пользуясь этим правилом, представьте в виде обыкновенной дроби число:

а) 0,(72); б) 0,(123); в) 0,1(11); г) 0,24(06).

а) 0,(72)

Это чистая периодическая дробь. Согласно правилу, в числитель записываем период, а в знаменатель столько девяток, сколько цифр в периоде.
Период равен 72. В периоде 2 цифры.
Следовательно, получаем дробь: $ \frac{72}{99} $.
Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 9:
$ \frac{72}{99} = \frac{72 \div 9}{99 \div 9} = \frac{8}{11} $.
Ответ: $ \frac{8}{11} $.

б) 0,(123)

Это чистая периодическая дробь. Период равен 123. В периоде 3 цифры.
В числитель записываем 123, а в знаменатель три девятки, то есть 999.
Получаем дробь: $ \frac{123}{999} $.
Сократим дробь. Сумма цифр числителя $1+2+3=6$, сумма цифр знаменателя $9+9+9=27$. Оба числа делятся на 3.
$ \frac{123}{999} = \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333} $.
Число 41 простое, а 333 на 41 не делится, значит, дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{41}{333} $.

в) 0,1(11)

Это смешанная периодическая дробь. Согласно правилу, нужно из числа, стоящего до второго периода (111), вычесть число, стоящее до первого периода (1). Результат записать в числитель. В знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде (2), и столько нулей, сколько цифр после запятой до периода (1).
Числитель: $ 111 - 1 = 110 $.
Знаменатель: 990.
Получаем дробь: $ \frac{110}{990} $.
Сократим дробь на 110:
$ \frac{110}{990} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9} $.
Ответ: $ \frac{1}{9} $.

г) 0,24(06)

Это смешанная периодическая дробь. Число до второго периода - 2406. Число до первого периода - 24. В периоде (06) 2 цифры. После запятой до периода (24) 2 цифры.
Числитель: $ 2406 - 24 = 2382 $.
Знаменатель будет состоять из двух девяток и двух нулей: 9900.
Получаем дробь: $ \frac{2382}{9900} $.
Сократим дробь. Сначала разделим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2382 \div 2}{9900 \div 2} = \frac{1191}{4950} $.
Теперь проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя $1+1+9+1=12$, сумма цифр знаменателя $4+9+5+0=18$. Оба делятся на 3.
$ \frac{1191 \div 3}{4950 \div 3} = \frac{397}{1650} $.
Число 397 является простым, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $ \frac{397}{1650} $.

167 По какому правилу составлена следующая бесконечная десятичная дробь:

а) $0,12112111211112...$

б) $0,122122122122...$

в) $0,10203040...90100110...$

г) $0,248163264...$

д) $0,135791113...$

е) $0,1357913579...?$

Является ли эта дробь периодической или нет?

а) 0,12112111211112...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется следующим образом: сначала идет группа «12», затем группа «112», затем «1112», и так далее. Каждая следующая группа получается из предыдущей добавлением одной цифры «1» перед цифрой «2». Иначе говоря, n-я группа состоит из n единиц, за которыми следует двойка, для $n=1, 2, 3, \dots$.

Эта дробь не является периодической, так как длина последовательности единиц между двойками постоянно увеличивается. Не существует конечной последовательности цифр (периода), которая бы повторялась.

Ответ: Правило: n-я группа цифр состоит из n единиц, за которыми следует двойка ($n=1, 2, 3, \dots$). Дробь не является периодической.

б) 0,122122122122...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется повторением группы цифр «122».

Эта дробь является периодической, так как группа цифр «122» бесконечно повторяется. Период дроби равен 122. Такую дробь можно записать в виде $0,(122)$.

Ответ: Правило: повторяется группа цифр «122». Дробь является периодической.

в) 0,10203040...90100110...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется путем последовательной записи натуральных чисел ($n=1, 2, 3, \dots$), за каждым из которых следует цифра «0». То есть, записываются числа, образованные сцеплением: $10, 20, 30, \dots, 90, 100, 110, \dots$.

Эта дробь не является периодической. Хотя правило составления дроби четко определено, оно не приводит к повторению одной и той же последовательности цифр. Длина записываемых натуральных чисел ($1, 2, \dots, 9, 10, 11, \dots$) постоянно растет, что нарушает любую возможную периодичность.

Ответ: Правило: последовательно записываются натуральные числа $n=1, 2, 3, \dots$, каждое из которых сопровождается нулем. Дробь не является периодической.

г) 0,248163264...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется путем последовательной записи степеней числа 2: $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, \dots$.

Эта дробь не является периодической. Количество цифр в числах, представляющих степени двойки, в целом увеличивается ($2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \dots$). Это означает, что не существует конечного блока цифр, который бы повторялся.

Ответ: Правило: последовательно записываются степени числа 2, начиная с первой ($2^n, n=1, 2, 3, \dots$). Дробь не является периодической.

д) 0,135791113...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется путем последовательной записи нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots$.

Эта дробь не является периодической. Подобно предыдущим примерам, количество цифр в записываемых нечетных числах растет (однозначные, затем двузначные, трехзначные и т.д.), что исключает возможность существования периода.

Ответ: Правило: последовательно записываются нечетные натуральные числа. Дробь не является периодической.

е) 0,1357913579...?

Правило: Судя по приведенной последовательности, наиболее вероятное правило — это повторение группы цифр «13579». Вопросительный знак, вероятно, подразумевает, что нужно определить закономерность и продолжить ее.

Если это правило верно, то дробь является периодической с периодом «13579». Ее можно записать как $0,(13579)$.

Ответ: Правило: повторяется группа цифр «13579». Дробь является периодической.

168 Укажите два рациональных и два иррациональных числа, заключённые между числами 3 и 3,01.

Два рациональных числа
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Конечные и периодические десятичные дроби являются рациональными. Чтобы найти два рациональных числа между 3 и 3,01, достаточно выбрать любые две конечные десятичные дроби, которые больше 3 и меньше 3,01.
Например, выберем числа 3,002 и 3,007.
Оба числа являются конечными десятичными дробями, а значит, рациональными. Число 3,002 можно записать как $\frac{3002}{1000}$, а 3,007 как $\frac{3007}{1000}$.
Проверим, что они лежат в заданном интервале:
$3 < 3,002 < 3,01$
$3 < 3,007 < 3,01$
Оба неравенства верны.
Ответ: 3,002 и 3,007.

Два иррациональных числа
Иррациональные числа — это вещественные числа, которые не являются рациональными. Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.
Один из способов найти иррациональное число в интервале $(3; 3,01)$ — это извлечь квадратный корень из числа, не являющегося полным квадратом, которое лежит между квадратами концов интервала.
Возведем концы интервала в квадрат: $3^2 = 9$ и $(3,01)^2 = 9,0601$.
Нам нужно найти число $a$ такое, что $9 < a < 9,0601$, и $a$ не является полным квадратом. Тогда число $\sqrt{a}$ будет иррациональным и будет лежать в интервале $(3; 3,01)$.
Выберем два таких числа, например, 9,03 и 9,04.
Так как $9 < 9,03 < 9,0601$, то $3 < \sqrt{9,03} < 3,01$.
Так как $9 < 9,04 < 9,0601$, то $3 < \sqrt{9,04} < 3,01$.
Числа 9,03 и 9,04 не являются полными квадратами, поэтому $\sqrt{9,03}$ и $\sqrt{9,04}$ — иррациональные числа.
Ответ: $\sqrt{9,03}$ и $\sqrt{9,04}$.

169 Может ли сумма двух периодических дробей быть непериодической?

Нет, сумма двух периодических дробей не может быть непериодической. Чтобы это доказать, воспользуемся определением периодической дроби и свойствами рациональных чисел.

Любая периодическая десятичная дробь является представлением рационального числа, то есть числа, которое можно записать в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число.

Пусть у нас есть две произвольные периодические дроби $A$ и $B$. Так как они периодические, они являются рациональными числами и могут быть представлены в виде обыкновенных дробей:

$A = \frac{p_1}{q_1}$

$B = \frac{p_2}{q_2}$

где $p_1, p_2$ — целые числа, а $q_1, q_2$ — натуральные числа.

Найдем сумму этих двух дробей:

$S = A + B = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю:

$S = \frac{p_1 q_2}{q_1 q_2} + \frac{p_2 q_1}{q_1 q_2} = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}$

Рассмотрим полученную дробь. Ее числитель, $p_3 = p_1 q_2 + p_2 q_1$, является целым числом, так как это сумма произведений целых чисел. Ее знаменатель, $q_3 = q_1 q_2$, является натуральным числом, так как это произведение натуральных чисел.

Таким образом, сумма $S$ может быть представлена в виде дроби $\frac{p_3}{q_3}$, где $p_3$ — целое, а $q_3$ — натуральное число. Это по определению означает, что сумма $S$ является рациональным числом.

С другой стороны, непериодическая бесконечная дробь представляет собой иррациональное число. Поскольку сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом, она не может быть иррациональным числом. Следовательно, десятичное представление суммы двух периодических дробей не может быть непериодическим. Оно всегда будет либо конечным (что можно считать частным случаем периодической дроби с периодом 0), либо периодическим.

Например, $0.(3) + 0.(6) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 = 1.(0)$, что является периодической дробью.

Ответ: нет, не может.

170 Может ли сумма двух непериодических дробей быть периодической?

Да, сумма двух непериодических дробей может быть периодической.

Для ответа на этот вопрос необходимо разобраться с определениями.

Непериодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой нет повторяющейся группы цифр (периода). Такие дроби являются представлением иррациональных чисел. Примерами могут служить числа $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$ или $\pi \approx 3.14159265...$.

Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места после запятой, повторяется определенная группа цифр (период). Любое рациональное число можно представить в виде периодической дроби. Конечные десятичные дроби являются частным случаем периодических, так как их можно записать с периодом 0 (например, $0.5 = 0.5000... = 0.5(0)$).

Таким образом, вопрос можно переформулировать следующим образом: может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом?

Ответ — да. Продемонстрируем это на конкретном примере.

Рассмотрим две непериодические дроби (два иррациональных числа):

$a = \sqrt{2}$

$b = 3 - \sqrt{2}$

Число $a = \sqrt{2}$ является иррациональным. Докажем, что число $b = 3 - \sqrt{2}$ также иррационально. Сделаем это методом от противного. Предположим, что $b$ — рациональное число. Тогда разность двух рациональных чисел (3 и $b$) также должна быть рациональным числом:

$3 - b = 3 - (3 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Мы получили, что $\sqrt{2}$ является рациональным числом, что неверно. Следовательно, наше первоначальное предположение было ложным, и число $b = 3 - \sqrt{2}$ является иррациональным.

Теперь найдем сумму этих двух непериодических дробей $a$ и $b$:

$a + b = \sqrt{2} + (3 - \sqrt{2}) = 3$

В результате сложения мы получили число 3. Это целое, а значит и рациональное число. Его можно представить в виде периодической дроби $3.000...$ или $3,(0)$.

Мы привели пример двух непериодических дробей, сумма которых является периодической дробью.

Ответ: Да, может.

171 Может ли сумма двух непериодических дробей быть непериодической?

Да, может.

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить, что непериодические дроби — это другое название для иррациональных чисел, а периодические (включая конечные) — для рациональных. Таким образом, вопрос можно переформулировать: может ли сумма двух иррациональных чисел быть иррациональным числом?

Рассмотрим два иррациональных числа. Например, возьмем число $a = \sqrt{2}$ и число $b = \sqrt{2}$. Оба эти числа являются иррациональными (непериодическими дробями).

Найдем их сумму:

$c = a + b = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Теперь докажем, что полученное число $c = 2\sqrt{2}$ также является иррациональным. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $2\sqrt{2}$ — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \neq 0$.

$2\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

Выразим из этого равенства $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} = \frac{p}{2q}$

Поскольку $p$ и $q$ — целые числа, то $p$ и $2q$ — также целые числа. Значит, мы представили $\sqrt{2}$ в виде отношения двух целых чисел. Это по определению означает, что $\sqrt{2}$ — рациональное число.

Однако известно, что $\sqrt{2}$ является иррациональным числом (непериодической дробью). Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $2\sqrt{2}$ — рациональное число, было неверным.

Таким образом, число $2\sqrt{2}$ является иррациональным, а значит, сумма двух непериодических дробей ($\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$) является непериодической дробью.

Ответ: да, может.