Номер 171, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 171, страница 60.

171 Может ли сумма двух непериодических дробей быть непериодической?

Да, может.

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить, что непериодические дроби — это другое название для иррациональных чисел, а периодические (включая конечные) — для рациональных. Таким образом, вопрос можно переформулировать: может ли сумма двух иррациональных чисел быть иррациональным числом?

Рассмотрим два иррациональных числа. Например, возьмем число $a = \sqrt{2}$ и число $b = \sqrt{2}$. Оба эти числа являются иррациональными (непериодическими дробями).

Найдем их сумму:

$c = a + b = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Теперь докажем, что полученное число $c = 2\sqrt{2}$ также является иррациональным. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $2\sqrt{2}$ — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \neq 0$.

$2\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

Выразим из этого равенства $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} = \frac{p}{2q}$

Поскольку $p$ и $q$ — целые числа, то $p$ и $2q$ — также целые числа. Значит, мы представили $\sqrt{2}$ в виде отношения двух целых чисел. Это по определению означает, что $\sqrt{2}$ — рациональное число.

Однако известно, что $\sqrt{2}$ является иррациональным числом (непериодической дробью). Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $2\sqrt{2}$ — рациональное число, было неверным.

Таким образом, число $2\sqrt{2}$ является иррациональным, а значит, сумма двух непериодических дробей ($\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$) является непериодической дробью.

Ответ: да, может.