Номер 176, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Ещё о средних. Глава 1. Неравенства - номер 176, страница 63.

176 Покажите, что в трапеции ABCD отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две трапеции равной площади, равен среднему квадратичному оснований ($ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} $).

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a = AD$ и $b = BC$. Пусть отрезок $EF$ параллелен основаниям и делит трапецию $ABCD$ на две новые трапеции: $BCEF$ и $AEFD$. Обозначим длину отрезка $EF$ как $x$. По условию, площади этих двух трапеций равны, то есть $S_{BCEF} = S_{AEFD}$.

Для доказательства продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. В результате такого построения образуются три подобных треугольника: $\triangle PBC \sim \triangle PEF \sim \triangle PAD$.

Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. В данном случае, площади треугольников будут относиться как квадраты длин их оснований:

$\frac{S_{PBC}}{S_{PAD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2}$

$\frac{S_{PEF}}{S_{PAD}} = \left(\frac{EF}{AD}\right)^2 = \frac{x^2}{a^2}$

Из этих соотношений можно выразить площади треугольников $\triangle PBC$ и $\triangle PEF$ через площадь наибольшего треугольника $\triangle PAD$:

$S_{PBC} = S_{PAD} \cdot \frac{b^2}{a^2}$

$S_{PEF} = S_{PAD} \cdot \frac{x^2}{a^2}$

Площади малых трапеций, на которые отрезок $EF$ делит исходную трапецию, можно представить как разности площадей этих треугольников:

$S_{BCEF} = S_{PEF} - S_{PBC}$

$S_{AEFD} = S_{PAD} - S_{PEF}$

Согласно условию задачи, площади этих трапеций равны:

$S_{BCEF} = S_{AEFD}$

Подставим выражения для площадей:

$S_{PEF} - S_{PBC} = S_{PAD} - S_{PEF}$

Сгруппируем члены уравнения:

$2 \cdot S_{PEF} = S_{PAD} + S_{PBC}$

Теперь подставим в это равенство выражения для площадей треугольников, выраженные через $S_{PAD}$ и длины оснований $a$, $b$, $x$:

$2 \cdot \left(S_{PAD} \cdot \frac{x^2}{a^2}\right) = S_{PAD} + \left(S_{PAD} \cdot \frac{b^2}{a^2}\right)$

Так как площадь треугольника $S_{PAD}$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S_{PAD}$:

$2 \frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$

Для того чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $a^2$:

$2x^2 = a^2 + b^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, его значение должно быть положительным. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Полученное выражение является формулой для среднего квадратичного (или среднеквадратического) чисел $a$ и $b$. Таким образом, мы доказали, что отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две равновеликие (равные по площади) трапеции, равен среднему квадратичному её оснований.

Ответ: Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего её на две трапеции равной площади, равна $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$, где $a$ и $b$ — длины оснований. Это значение является средним квадратичным оснований.