Страница 63 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

172 Докажите, что среднее геометрическое двух положительных чисел всегда не меньше среднего гармонического этих чисел.

Пусть даны два произвольных положительных числа $a$ и $b$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Определим среднее геометрическое ($G$) и среднее гармоническое ($H$) этих чисел:
Среднее геометрическое: $G = \sqrt{ab}$
Среднее гармоническое: $H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Нам необходимо доказать, что $G \ge H$. Запишем это неравенство в развернутом виде:
$\sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Сначала упростим выражение для среднего гармонического, приведя дроби в знаменателе к общему знаменателю:
$H = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь доказываемое неравенство принимает вид:
$\sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}$

Поскольку по условию числа $a$ и $b$ положительные, то и выражения $a+b$ и $\sqrt{ab}$ также строго положительны. Это позволяет нам выполнять равносильные преобразования неравенства. Умножим обе части на $(a+b)$ и разделим на $\sqrt{ab}$, знаки неравенства при этом не изменятся:
$\sqrt{ab}(a+b) \ge 2ab$
$a+b \ge \frac{2ab}{\sqrt{ab}}$
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

Последнее неравенство является известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел (неравенство Коши). Чтобы доказать его, перенесём все члены в левую часть:
$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

Левая часть представляет собой формулу полного квадрата разности для выражений $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$:
$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$

Таким образом, мы приходим к неравенству:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$

Это неравенство является истинным, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается в том и только в том случае, когда $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$, то есть при $a=b$.

Поскольку все выполненные нами преобразования были равносильными для положительных $a$ и $b$, то и исходное неравенство, утверждающее, что среднее геометрическое не меньше среднего гармонического, является верным.

Ответ: что и требовалось доказать.

173 Докажите, что среднее квадратичное двух положительных чисел всегда не меньше среднего арифметического этих чисел.

Пусть даны два положительных числа $a$ и $b$, то есть $a > 0$ и $b > 0$.

Среднее квадратичное этих чисел (СК) определяется формулой:

$СК = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Среднее арифметическое этих чисел (СА) определяется формулой:

$СА = \frac{a + b}{2}$

Требуется доказать, что $СК \ge СА$, то есть:

$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a + b}{2}$

Так как $a$ и $b$ — положительные числа, обе части неравенства также положительны. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$\left(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\right)^2 \ge \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$

$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \frac{(a + b)^2}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot \frac{a^2 + b^2}{2} \ge 4 \cdot \frac{(a + b)^2}{4}$

$2(a^2 + b^2) \ge (a + b)^2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2a^2 + 2b^2 \ge a^2 + 2ab + b^2$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности чисел $a$ и $b$:

$(a - b)^2 \ge 0$

Полученное неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Так как мы пришли к истинному неравенству с помощью равносильных преобразований, то и исходное неравенство также является верным. Равенство достигается в том случае, когда $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$. Во всех остальных случаях ($a \ne b$) среднее квадратичное будет строго больше среднего арифметического.

Ответ: Утверждение доказано.

174 На тренировке гонщик трижды проехал кольцевую трассу. Первый круг гонщик проехал со скоростью 150 км/ч, второй круг — со скоростью 175 км/ч, а третий — со скоростью 180 км/ч. Какова средняя скорость гонщика на всей дистанции?

Для нахождения средней скорости на всей дистанции необходимо разделить весь пройденный путь на все затраченное время. Важно отметить, что средняя скорость в данном случае не является средним арифметическим скоростей, так как гонщик двигался с разными скоростями на одинаковых участках пути, а значит, затратил на них разное время.

Решение:

1. Обозначим длину одного круга кольцевой трассы как $S$ км. Так как гонщик проехал три круга, то общая дистанция $S_{общ}$ равна:

$S_{общ} = S + S + S = 3S$

2. Теперь найдем время, затраченное на прохождение каждого круга. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $v$ - скорость.

• Время на первый круг ($t_1$): $t_1 = \frac{S}{150}$ ч
• Время на второй круг ($t_2$): $t_2 = \frac{S}{175}$ ч
• Время на третий круг ($t_3$): $t_3 = \frac{S}{180}$ ч

3. Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый круг:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{150} + \frac{S}{175} + \frac{S}{180}$

Можно вынести $S$ за скобки:

$t_{общ} = S \cdot (\frac{1}{150} + \frac{1}{175} + \frac{1}{180})$

4. Теперь используем формулу для средней скорости $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$:

$v_{ср} = \frac{3S}{S \cdot (\frac{1}{150} + \frac{1}{175} + \frac{1}{180})}$

Как мы видим, переменная $S$ (длина круга) сокращается:

$v_{ср} = \frac{3}{\frac{1}{150} + \frac{1}{175} + \frac{1}{180}}$

5. Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 150, 175 и 180.

Разложим числа на простые множители:

$150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

$175 = 5^2 \cdot 7$

$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

НОК(150, 175, 180) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 6300$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 6300:

$\frac{1}{150} = \frac{42}{6300}$

$\frac{1}{175} = \frac{36}{6300}$

$\frac{1}{180} = \frac{35}{6300}$

Сложим дроби:

$\frac{42}{6300} + \frac{36}{6300} + \frac{35}{6300} = \frac{42 + 36 + 35}{6300} = \frac{113}{6300}$

6. Подставим полученное значение в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{3}{\frac{113}{6300}} = 3 \cdot \frac{6300}{113} = \frac{18900}{113}$

Выполним деление:

$v_{ср} \approx 167,2566...$ км/ч

Округлим результат до сотых.

Ответ: $v_{ср} \approx 167,26$ км/ч.

175 Покажите, что в трапеции $ABCD$ отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две трапеции, подобные между собой, равен среднему геометрическому оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a=AD$ и $b=BC$.Пусть отрезок $EF$, параллельный основаниям ($E$ на стороне $AB$, $F$ на стороне $CD$), делит трапецию $ABCD$ на две трапеции: $EBCF$ и $AEFD$. Обозначим длину отрезка $EF$ как $x$.

По условию задачи, полученные трапеции $EBCF$ и $AEFD$ подобны друг другу.Из определения подобных многоугольников следует, что отношение длин их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия.

Рассмотрим основания этих двух трапеций.Трапеция $EBCF$ имеет основания $BC$ и $EF$, длины которых равны $b$ и $x$.Трапеция $AEFD$ имеет основания $EF$ и $AD$, длины которых равны $x$ и $a$.

Без ограничения общности, предположим, что $a > b$. Так как отрезок $EF$ расположен между основаниями, его длина $x$ удовлетворяет условию $b < x < a$.Следовательно, в трапеции $EBCF$ меньшим основанием является $BC$ (длиной $b$), а большим – $EF$ (длиной $x$).В трапеции $AEFD$ меньшим основанием является $EF$ (длиной $x$), а большим – $AD$ (длиной $a$).

Поскольку трапеции подобны, отношение их соответственных сторон должно быть одинаковым. Сопоставим меньшее основание одной трапеции с меньшим основанием другой, и большее основание с большим. Получим следующее равенство отношений:$$ \frac{\text{большее основание } AEFD}{\text{большее основание } EBCF} = \frac{\text{меньшее основание } AEFD}{\text{меньшее основание } EBCF} $$Подставляя длины сторон, получаем пропорцию:$$ \frac{AD}{EF} = \frac{EF}{BC} $$$$ \frac{a}{x} = \frac{x}{b} $$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем равенство:$$ x \cdot x = a \cdot b $$$$ x^2 = ab $$Так как длина отрезка $x$ является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:$$ x = \sqrt{ab} $$Таким образом, доказано, что длина отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на две подобные между собой трапеции, равна среднему геометрическому оснований.

Ответ: Длина искомого отрезка равна $\sqrt{ab}$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.

176 Покажите, что в трапеции ABCD отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две трапеции равной площади, равен среднему квадратичному оснований ($ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} $).

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a = AD$ и $b = BC$. Пусть отрезок $EF$ параллелен основаниям и делит трапецию $ABCD$ на две новые трапеции: $BCEF$ и $AEFD$. Обозначим длину отрезка $EF$ как $x$. По условию, площади этих двух трапеций равны, то есть $S_{BCEF} = S_{AEFD}$.

Для доказательства продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. В результате такого построения образуются три подобных треугольника: $\triangle PBC \sim \triangle PEF \sim \triangle PAD$.

Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. В данном случае, площади треугольников будут относиться как квадраты длин их оснований:

$\frac{S_{PBC}}{S_{PAD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2}$

$\frac{S_{PEF}}{S_{PAD}} = \left(\frac{EF}{AD}\right)^2 = \frac{x^2}{a^2}$

Из этих соотношений можно выразить площади треугольников $\triangle PBC$ и $\triangle PEF$ через площадь наибольшего треугольника $\triangle PAD$:

$S_{PBC} = S_{PAD} \cdot \frac{b^2}{a^2}$

$S_{PEF} = S_{PAD} \cdot \frac{x^2}{a^2}$

Площади малых трапеций, на которые отрезок $EF$ делит исходную трапецию, можно представить как разности площадей этих треугольников:

$S_{BCEF} = S_{PEF} - S_{PBC}$

$S_{AEFD} = S_{PAD} - S_{PEF}$

Согласно условию задачи, площади этих трапеций равны:

$S_{BCEF} = S_{AEFD}$

Подставим выражения для площадей:

$S_{PEF} - S_{PBC} = S_{PAD} - S_{PEF}$

Сгруппируем члены уравнения:

$2 \cdot S_{PEF} = S_{PAD} + S_{PBC}$

Теперь подставим в это равенство выражения для площадей треугольников, выраженные через $S_{PAD}$ и длины оснований $a$, $b$, $x$:

$2 \cdot \left(S_{PAD} \cdot \frac{x^2}{a^2}\right) = S_{PAD} + \left(S_{PAD} \cdot \frac{b^2}{a^2}\right)$

Так как площадь треугольника $S_{PAD}$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S_{PAD}$:

$2 \frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$

Для того чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $a^2$:

$2x^2 = a^2 + b^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, его значение должно быть положительным. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Полученное выражение является формулой для среднего квадратичного (или среднеквадратического) чисел $a$ и $b$. Таким образом, мы доказали, что отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две равновеликие (равные по площади) трапеции, равен среднему квадратичному её оснований.

Ответ: Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего её на две трапеции равной площади, равна $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$, где $a$ и $b$ — длины оснований. Это значение является средним квадратичным оснований.