Страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

160 Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

а) $\frac{5}{9}$;

б) $\frac{6}{11}$;

в) $\frac{7}{13}$;

г) $\frac{5}{6}$;

д) $\frac{7}{22}$;

е) $\frac{11}{40}$.

а) Чтобы представить дробь $\frac{5}{9}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, необходимо выполнить деление числителя 5 на знаменатель 9. Это можно сделать "в столбик":
Поскольку 5 меньше 9, целая часть частного равна 0. Ставим запятую после нуля.
$5 \div 9 = 0,...$
Умножаем 5 на 10, получаем 50. Делим 50 на 9:
$50 \div 9 = 5$ с остатком $5$ ($50 = 9 \times 5 + 5$). Первая цифра после запятой - 5.
К остатку 5 снова приписываем 0, получаем 50. Делим 50 на 9:
$50 \div 9 = 5$ с остатком $5$. Вторая цифра после запятой - 5.
Так как остаток постоянно повторяется и равен 5, последующие цифры частного также будут 5. Мы получили чистую периодическую дробь с периодом 5.
$\frac{5}{9} = 0,555... = 0,(5)$.
Ответ: $0,(5)$.

б) Чтобы представить дробь $\frac{6}{11}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 6 на 11:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$60 \div 11 = 5$ с остатком $5$ ($60 = 11 \times 5 + 5$).
$50 \div 11 = 4$ с остатком $6$ ($50 = 11 \times 4 + 6$).
$60 \div 11 = 5$ с остатком $5$.
Мы видим, что остатки начали повторяться (сначала 5, потом 6, потом снова 5), а значит, и цифры в частном будут повторяться. Период дроби состоит из цифр 5 и 4.
$\frac{6}{11} = 0,5454... = 0,(54)$.
Ответ: $0,(54)$.

в) Чтобы представить дробь $\frac{7}{13}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 7 на 13:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$70 \div 13 = 5$ с остатком $5$.
$50 \div 13 = 3$ с остатком $11$.
$110 \div 13 = 8$ с остатком $6$.
$60 \div 13 = 4$ с остатком $8$.
$80 \div 13 = 6$ с остатком $2$.
$20 \div 13 = 1$ с остатком $7$.
Остаток снова стал равен 7, как и в самом начале деления. Это означает, что последовательность цифр в частном начнет повторяться. Период дроби - 538461.
$\frac{7}{13} = 0,538461538461... = 0,(538461)$.
Ответ: $0,(538461)$.

г) Чтобы представить дробь $\frac{5}{6}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 5 на 6:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$50 \div 6 = 8$ с остатком $2$ ($50 = 6 \times 8 + 2$).
$20 \div 6 = 3$ с остатком $2$ ($20 = 6 \times 3 + 2$).
$20 \div 6 = 3$ с остатком $2$.
Остаток 2 будет повторяться бесконечно, а значит, и цифра 3 в частном будет повторяться. Цифра 8 не входит в период. Это смешанная периодическая дробь.
$\frac{5}{6} = 0,8333... = 0,8(3)$.
Ответ: $0,8(3)$.

д) Чтобы представить дробь $\frac{7}{22}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 7 на 22:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$70 \div 22 = 3$ с остатком $4$ ($70 = 22 \times 3 + 4$).
$40 \div 22 = 1$ с остатком $18$ ($40 = 22 \times 1 + 18$).
$180 \div 22 = 8$ с остатком $4$ ($180 = 22 \times 8 + 4$).
Остаток 4 повторился, значит, последовательность цифр в частном, полученная после этого шага, начнет повторяться. Период дроби - 18. Цифра 3 не входит в период.
$\frac{7}{22} = 0,3181818... = 0,3(18)$.
Ответ: $0,3(18)$.

е) Чтобы представить дробь $\frac{11}{40}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 11 на 40:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$110 \div 40 = 2$ с остатком $30$ ($110 = 40 \times 2 + 30$).
$300 \div 40 = 7$ с остатком $20$ ($300 = 40 \times 7 + 20$).
$200 \div 40 = 5$ с остатком $0$ ($200 = 40 \times 5 + 0$).
Деление закончилось, мы получили конечную десятичную дробь $0,275$.
Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической, дописав в периоде 0.
$\frac{11}{40} = 0,275 = 0,275000... = 0,275(0)$.
Ответ: $0,275(0)$.

161 Разверните запись в бесконечную десятичную дробь, указав десять знаков после запятой:

а) $0,\overline{31}$;

б) $2,\overline{5}$;

в) $3,6\overline{05}$;

г) $1,0\overline{286}$.

В каждом случае укажите несколько периодов дроби.

а) 0,(31)

Запись $0,(31)$ представляет собой чистую периодическую десятичную дробь. Цифры в скобках (31) образуют период дроби, который бесконечно повторяется сразу после запятой.

Чтобы развернуть эту запись в бесконечную десятичную дробь и указать десять знаков после запятой, мы последовательно записываем период: $0,3131313131...$

Период дроби — это 31. Несколько периодов: 31, 31, 31.

Ответ: $0,3131313131...$

б) 2,(5)

Запись $2,(5)$ представляет собой чистую периодическую десятичную дробь с целой частью, равной 2. Период дроби равен 5.

Для развертывания записи мы пишем целую часть, а затем бесконечно повторяем период. Десять знаков после запятой будут выглядеть так: $2,5555555555...$

Период дроби — это 5. Несколько периодов: 5, 5, 5, 5.

Ответ: $2,5555555555...$

в) 3,6(05)

Запись $3,6(05)$ представляет собой смешанную периодическую десятичную дробь. Она имеет целую часть 3, непериодическую часть после запятой (предпериод), равную 6, и периодическую часть (период), равную 05.

Чтобы развернуть эту запись, мы записываем целую часть, затем предпериод, а после него бесконечно повторяем период. Для десяти знаков после запятой получаем: $3,6050505050...$

Период дроби — это 05. Несколько периодов: 05, 05, 05.

Ответ: $3,6050505050...$

г) 1,0(286)

Запись $1,0(286)$ представляет собой смешанную периодическую десятичную дробь. Целая часть равна 1, предпериод равен 0, а период равен 286.

Разворачиваем запись: после целой части и предпериода начинаем бесконечно повторять период. Десять знаков после запятой будут: $1,0286286286...$

Период дроби — это 286. Несколько периодов: 286, 286, 286.

Ответ: $1,0286286286...$

162 Сравните:

а) $0,(52)$ и $0,(523)$;

б) $2,(619)$ и $2,6(19)$.

а) Чтобы сравнить две периодические дроби $0,(52)$ и $0,(523)$, запишем их в развернутом виде, раскрыв скобки, обозначающие период.

Периодическая дробь $0,(52)$ — это бесконечная десятичная дробь, у которой после запятой повторяется группа цифр «52»:

$0,(52) = 0,525252...$

Периодическая дробь $0,(523)$ — это бесконечная десятичная дробь, у которой после запятой повторяется группа цифр «523»:

$0,(523) = 0,523523...$

Теперь сравним эти две дроби поразрядно, двигаясь слева направо. Для удобства запишем их друг под другом:

$0,525252...$

$0,523523...$

Целые части обеих дробей равны $0$. Первые два знака после запятой (разряды десятых и сотых) у обеих дробей также совпадают: это $5$ и $2$.

Различие появляется в третьем знаке после запятой (в разряде тысячных). У первой дроби это цифра $5$ (из повторяющегося блока $52$), а у второй дроби — цифра $3$.

Поскольку $5 > 3$, то первая дробь больше второй.

$0,525... > 0,523...$

Следовательно, $0,(52) > 0,(523)$.

Ответ: $0,(52) > 0,(523)$.

б) Чтобы сравнить две периодические дроби $2,(619)$ и $2,6(19)$, запишем их в развернутом виде.

Периодическая дробь $2,(619)$ — это чистая периодическая дробь, у которой целая часть равна $2$, а после запятой повторяется группа цифр «619»:

$2,(619) = 2,619619619...$

Периодическая дробь $2,6(19)$ — это смешанная периодическая дробь. У нее целая часть равна $2$, после запятой идет цифра $6$ (предпериод), а затем бесконечно повторяется группа цифр «19» (период):

$2,6(19) = 2,619191919...$

Теперь сравним эти две дроби поразрядно:

$2,619619...$

$2,619191...$

Целые части обеих дробей равны $2$. Первые три знака после запятой (разряды десятых, сотых и тысячных) у обеих дробей совпадают: это $6$, $1$ и $9$.

Различие появляется в четвертом знаке после запятой (в разряде десятитысячных). У первой дроби это цифра $6$ (так как начинается новый период $619$), а у второй дроби — цифра $1$ (так как продолжается период $19$).

Поскольку $6 > 1$, то первая дробь больше второй.

$2,6196... > 2,6191...$

Следовательно, $2,(619) > 2,6(19)$.

Ответ: $2,(619) > 2,6(19)$.

163 Придумайте какую-нибудь периодическую дробь, заключённую между числами:

а) $0,(6)$ и $0,(16)$;

б) $0,(30)$ и $0,(300)$;

в) $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$;

г) $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$.

а)

Чтобы найти периодическую дробь между числами $0,(6)$ и $0,(16)$, сначала запишем их в развернутом виде, раскрыв период.
$0,(6) = 0,6666...$
$0,(16) = 0,161616...$
Сравнивая эти числа, видим, что $0,(16) < 0,(6)$. Нам нужно найти число $x$, такое что $0,161616... < x < 0,6666...$.
В качестве искомой дроби можно взять любую периодическую дробь, которая больше $0,16...$ и меньше $0,66...$.
Например, возьмем число $0,(2)$.
$0,(2) = 0,2222...$
Проверим неравенство: $0,161616... < 0,2222... < 0,6666...$. Неравенство верное, так как первая цифра после запятой у числа $0,222...$ (это 2) больше, чем у $0,161...$ (это 1), и меньше, чем у $0,666...$ (это 6).

Ответ: $0,(2)$.

б)

Найдем периодическую дробь между числами $0,(30)$ и $0,(300)$.
Запишем эти числа в развернутом виде:
$0,(30) = 0,303030...$
$0,(300) = 0,300300...$
Сравним эти два числа поразрядно. Первые два знака после запятой у них совпадают (30). Третий знак у $0,(30)$ равен 3, а у $0,(300)$ равен 0.
Поскольку $3 > 0$, то $0,(30) > 0,(300)$.
Нам нужно найти число $x$, такое что $0,300300... < x < 0,303030...$.
Искомое число должно начинаться с $0,30...$. Третья цифра после запятой должна быть больше 0, но меньше 3. Например, 1 или 2.
Возьмем число $0,30(1)$, где в периоде цифра 1.
$0,30(1) = 0,301111...$
Проверим неравенство: $0,300300... < 0,301111... < 0,303030...$. Неравенство верное, так как на третьем знаке после запятой $0 < 1 < 3$.

Ответ: $0,30(1)$.

в)

Найдем периодическую дробь между числами $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$.
Сначала преобразуем обыкновенные дроби в десятичные.
$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.
$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$. Число $0,75$ является конечной десятичной дробью, которую можно представить в виде периодической с периодом 0: $0,75 = 0,75000... = 0,75(0)$.
Нам нужно найти число $x$, такое что $0,(6) < x < 0,75(0)$, то есть $0,666... < x < 0,750...$.
Можно взять число, которое начинается на $0,7$. Например, $0,7$ или $0,7(0)$.
$0,7(0) = 0,700...$
Проверим неравенство: $0,666... < 0,700... < 0,750...$. Неравенство верное.

Ответ: $0,7(0)$.

г)

Найдем периодическую дробь между числами $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$.
Преобразуем эти дроби в десятичные, выполнив деление в столбик.
$\frac{10}{11} = 10 \div 11 = 0,9090... = 0,(90)$.
$\frac{12}{11} = 12 \div 11 = 1,0909... = 1,(09)$.
Нам нужно найти периодическую дробь $x$, удовлетворяющую неравенству $0,(90) < x < 1,(09)$.
То есть, $0,9090... < x < 1,0909...$.
Очевидно, что между этими двумя числами находится целое число 1.
Любое целое число можно представить в виде периодической дроби с периодом 0.
$1 = 1,000... = 1,(0)$.
Проверим неравенство: $0,9090... < 1,000... < 1,0909...$. Неравенство верное.

Ответ: $1,(0)$.

164 Представьте в виде обыкновенной дроби следующую десятичную периодическую дробь (проверьте себя, выполнив деление):

а) $0,(6)$; в) $0,(12)$; д) $0,2(36)$;

б) $0,5(0)$; г) $0,(135)$; е) $0,31(4)$.

а) 0,(6)

Это чистая периодическая дробь. Пусть $x = 0,(6) = 0,666...$

В периоде одна цифра, поэтому умножим уравнение на 10:

$10x = 6,666...$

Теперь вычтем из нового уравнения исходное:

$10x - x = 6,666... - 0,666...$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{2}{3}$

Проверка делением: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) 0,5(0)

Дробь $0,5(0)$ означает $0,5000...$, что равно конечной десятичной дроби $0,5$.

Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби:

$0,5 = \frac{5}{10}$

Сократим дробь на 5:

$\frac{1}{2}$

Проверка делением: $1 \div 2 = 0,5 = 0,5(0)$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) 0,(12)

Это чистая периодическая дробь. Пусть $x = 0,(12) = 0,121212...$

В периоде две цифры, поэтому умножим уравнение на 100:

$100x = 12,121212...$

Вычтем из нового уравнения исходное:

$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$

$99x = 12$

$x = \frac{12}{99}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{4}{33}$

Проверка делением: $4 \div 33 = 0,1212... = 0,(12)$.

Ответ: $\frac{4}{33}$

г) 0,(135)

Это чистая периодическая дробь. Пусть $x = 0,(135) = 0,135135...$

В периоде три цифры, поэтому умножим уравнение на 1000:

$1000x = 135,135135...$

Вычтем из нового уравнения исходное:

$1000x - x = 135,135135... - 0,135135...$

$999x = 135$

$x = \frac{135}{999}$

Числитель и знаменатель делятся на 27. Сократим дробь:

$x = \frac{135 \div 27}{999 \div 27} = \frac{5}{37}$

Проверка делением: $5 \div 37 = 0,135135... = 0,(135)$.

Ответ: $\frac{5}{37}$

д) 0,2(36)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0,2(36) = 0,2363636...$

Умножим на 10, чтобы избавиться от непериодической части после запятой:

$10x = 2,363636...$

Теперь умножим на 100 (так как в периоде две цифры), чтобы сдвинуть один период влево:

$1000x = 236,363636...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 10x = 236,3636... - 2,3636...$

$990x = 234$

$x = \frac{234}{990}$

Сократим дробь на 18:

$x = \frac{234 \div 18}{990 \div 18} = \frac{13}{55}$

Проверка делением: $13 \div 55 = 0,23636... = 0,2(36)$.

Ответ: $\frac{13}{55}$

е) 0,31(4)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0,31(4) = 0,31444...$

Непериодическая часть состоит из двух цифр, умножим на 100:

$100x = 31,444...$

Периодическая часть состоит из одной цифры, умножим еще на 10:

$1000x = 314,444...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 100x = 314,444... - 31,444...$

$900x = 283$

$x = \frac{283}{900}$

Число 283 является простым, а 900 не делится на 283, поэтому дробь несократимая.

Проверка делением: $283 \div 900 = 0,31444... = 0,31(4)$.

Ответ: $\frac{283}{900}$

165 Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,111...$;

б) $0,101010...$;

в) $0,010101...$.

а) Чтобы представить периодическую десятичную дробь $0,111...$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$.
$x = 0,111...$
В периоде этой дроби одна цифра (1). Умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 1,111...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:
$10x - x = 1,111... - 0,111...$
$9x = 1$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Обозначим периодическую дробь $0,101010...$ через $x$.
$x = 0,101010...$
Период этой дроби состоит из двух цифр (10). Умножим обе части уравнения на 100:
$100x = 10,101010...$
Вычтем из нового уравнения исходное:
$100x - x = 10,101010... - 0,101010...$
$99x = 10$
Находим $x$:
$x = \frac{10}{99}$
Ответ: $\frac{10}{99}$

в) Для дроби $0,010101...$ поступим аналогично. Обозначим ее через $x$.
$x = 0,010101...$
Период дроби состоит из двух цифр (01). Умножим обе части уравнения на 100:
$100x = 1,010101...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 1,010101... - 0,010101...$
$99x = 1$
Находим $x$:
$x = \frac{1}{99}$
Ответ: $\frac{1}{99}$