Номер 165, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 165, страница 59.

165 Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,111...$;

б) $0,101010...$;

в) $0,010101...$.

а) Чтобы представить периодическую десятичную дробь $0,111...$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$.
$x = 0,111...$
В периоде этой дроби одна цифра (1). Умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 1,111...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:
$10x - x = 1,111... - 0,111...$
$9x = 1$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Обозначим периодическую дробь $0,101010...$ через $x$.
$x = 0,101010...$
Период этой дроби состоит из двух цифр (10). Умножим обе части уравнения на 100:
$100x = 10,101010...$
Вычтем из нового уравнения исходное:
$100x - x = 10,101010... - 0,101010...$
$99x = 10$
Находим $x$:
$x = \frac{10}{99}$
Ответ: $\frac{10}{99}$

в) Для дроби $0,010101...$ поступим аналогично. Обозначим ее через $x$.
$x = 0,010101...$
Период дроби состоит из двух цифр (01). Умножим обе части уравнения на 100:
$100x = 1,010101...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 1,010101... - 0,010101...$
$99x = 1$
Находим $x$:
$x = \frac{1}{99}$
Ответ: $\frac{1}{99}$