Номер 162, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 162, страница 59.

162 Сравните:

а) $0,(52)$ и $0,(523)$;

б) $2,(619)$ и $2,6(19)$.

а) Чтобы сравнить две периодические дроби $0,(52)$ и $0,(523)$, запишем их в развернутом виде, раскрыв скобки, обозначающие период.

Периодическая дробь $0,(52)$ — это бесконечная десятичная дробь, у которой после запятой повторяется группа цифр «52»:

$0,(52) = 0,525252...$

Периодическая дробь $0,(523)$ — это бесконечная десятичная дробь, у которой после запятой повторяется группа цифр «523»:

$0,(523) = 0,523523...$

Теперь сравним эти две дроби поразрядно, двигаясь слева направо. Для удобства запишем их друг под другом:

$0,525252...$

$0,523523...$

Целые части обеих дробей равны $0$. Первые два знака после запятой (разряды десятых и сотых) у обеих дробей также совпадают: это $5$ и $2$.

Различие появляется в третьем знаке после запятой (в разряде тысячных). У первой дроби это цифра $5$ (из повторяющегося блока $52$), а у второй дроби — цифра $3$.

Поскольку $5 > 3$, то первая дробь больше второй.

$0,525... > 0,523...$

Следовательно, $0,(52) > 0,(523)$.

Ответ: $0,(52) > 0,(523)$.

б) Чтобы сравнить две периодические дроби $2,(619)$ и $2,6(19)$, запишем их в развернутом виде.

Периодическая дробь $2,(619)$ — это чистая периодическая дробь, у которой целая часть равна $2$, а после запятой повторяется группа цифр «619»:

$2,(619) = 2,619619619...$

Периодическая дробь $2,6(19)$ — это смешанная периодическая дробь. У нее целая часть равна $2$, после запятой идет цифра $6$ (предпериод), а затем бесконечно повторяется группа цифр «19» (период):

$2,6(19) = 2,619191919...$

Теперь сравним эти две дроби поразрядно:

$2,619619...$

$2,619191...$

Целые части обеих дробей равны $2$. Первые три знака после запятой (разряды десятых, сотых и тысячных) у обеих дробей совпадают: это $6$, $1$ и $9$.

Различие появляется в четвертом знаке после запятой (в разряде десятитысячных). У первой дроби это цифра $6$ (так как начинается новый период $619$), а у второй дроби — цифра $1$ (так как продолжается период $19$).

Поскольку $6 > 1$, то первая дробь больше второй.

$2,6196... > 2,6191...$

Следовательно, $2,(619) > 2,6(19)$.

Ответ: $2,(619) > 2,6(19)$.