Номер 163, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 163, страница 59.

163 Придумайте какую-нибудь периодическую дробь, заключённую между числами:

а) $0,(6)$ и $0,(16)$;

б) $0,(30)$ и $0,(300)$;

в) $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$;

г) $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$.

а)

Чтобы найти периодическую дробь между числами $0,(6)$ и $0,(16)$, сначала запишем их в развернутом виде, раскрыв период.
$0,(6) = 0,6666...$
$0,(16) = 0,161616...$
Сравнивая эти числа, видим, что $0,(16) < 0,(6)$. Нам нужно найти число $x$, такое что $0,161616... < x < 0,6666...$.
В качестве искомой дроби можно взять любую периодическую дробь, которая больше $0,16...$ и меньше $0,66...$.
Например, возьмем число $0,(2)$.
$0,(2) = 0,2222...$
Проверим неравенство: $0,161616... < 0,2222... < 0,6666...$. Неравенство верное, так как первая цифра после запятой у числа $0,222...$ (это 2) больше, чем у $0,161...$ (это 1), и меньше, чем у $0,666...$ (это 6).

Ответ: $0,(2)$.

б)

Найдем периодическую дробь между числами $0,(30)$ и $0,(300)$.
Запишем эти числа в развернутом виде:
$0,(30) = 0,303030...$
$0,(300) = 0,300300...$
Сравним эти два числа поразрядно. Первые два знака после запятой у них совпадают (30). Третий знак у $0,(30)$ равен 3, а у $0,(300)$ равен 0.
Поскольку $3 > 0$, то $0,(30) > 0,(300)$.
Нам нужно найти число $x$, такое что $0,300300... < x < 0,303030...$.
Искомое число должно начинаться с $0,30...$. Третья цифра после запятой должна быть больше 0, но меньше 3. Например, 1 или 2.
Возьмем число $0,30(1)$, где в периоде цифра 1.
$0,30(1) = 0,301111...$
Проверим неравенство: $0,300300... < 0,301111... < 0,303030...$. Неравенство верное, так как на третьем знаке после запятой $0 < 1 < 3$.

Ответ: $0,30(1)$.

в)

Найдем периодическую дробь между числами $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$.
Сначала преобразуем обыкновенные дроби в десятичные.
$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.
$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$. Число $0,75$ является конечной десятичной дробью, которую можно представить в виде периодической с периодом 0: $0,75 = 0,75000... = 0,75(0)$.
Нам нужно найти число $x$, такое что $0,(6) < x < 0,75(0)$, то есть $0,666... < x < 0,750...$.
Можно взять число, которое начинается на $0,7$. Например, $0,7$ или $0,7(0)$.
$0,7(0) = 0,700...$
Проверим неравенство: $0,666... < 0,700... < 0,750...$. Неравенство верное.

Ответ: $0,7(0)$.

г)

Найдем периодическую дробь между числами $\frac{10}{11}$ и $\frac{12}{11}$.
Преобразуем эти дроби в десятичные, выполнив деление в столбик.
$\frac{10}{11} = 10 \div 11 = 0,9090... = 0,(90)$.
$\frac{12}{11} = 12 \div 11 = 1,0909... = 1,(09)$.
Нам нужно найти периодическую дробь $x$, удовлетворяющую неравенству $0,(90) < x < 1,(09)$.
То есть, $0,9090... < x < 1,0909...$.
Очевидно, что между этими двумя числами находится целое число 1.
Любое целое число можно представить в виде периодической дроби с периодом 0.
$1 = 1,000... = 1,(0)$.
Проверим неравенство: $0,9090... < 1,000... < 1,0909...$. Неравенство верное.

Ответ: $1,(0)$.