Номер 170, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 170, страница 60.

170 Может ли сумма двух непериодических дробей быть периодической?

Да, сумма двух непериодических дробей может быть периодической.

Для ответа на этот вопрос необходимо разобраться с определениями.

Непериодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой нет повторяющейся группы цифр (периода). Такие дроби являются представлением иррациональных чисел. Примерами могут служить числа $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$ или $\pi \approx 3.14159265...$.

Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места после запятой, повторяется определенная группа цифр (период). Любое рациональное число можно представить в виде периодической дроби. Конечные десятичные дроби являются частным случаем периодических, так как их можно записать с периодом 0 (например, $0.5 = 0.5000... = 0.5(0)$).

Таким образом, вопрос можно переформулировать следующим образом: может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом?

Ответ — да. Продемонстрируем это на конкретном примере.

Рассмотрим две непериодические дроби (два иррациональных числа):

$a = \sqrt{2}$

$b = 3 - \sqrt{2}$

Число $a = \sqrt{2}$ является иррациональным. Докажем, что число $b = 3 - \sqrt{2}$ также иррационально. Сделаем это методом от противного. Предположим, что $b$ — рациональное число. Тогда разность двух рациональных чисел (3 и $b$) также должна быть рациональным числом:

$3 - b = 3 - (3 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Мы получили, что $\sqrt{2}$ является рациональным числом, что неверно. Следовательно, наше первоначальное предположение было ложным, и число $b = 3 - \sqrt{2}$ является иррациональным.

Теперь найдем сумму этих двух непериодических дробей $a$ и $b$:

$a + b = \sqrt{2} + (3 - \sqrt{2}) = 3$

В результате сложения мы получили число 3. Это целое, а значит и рациональное число. Его можно представить в виде периодической дроби $3.000...$ или $3,(0)$.

Мы привели пример двух непериодических дробей, сумма которых является периодической дробью.

Ответ: Да, может.