Номер 173, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Ещё о средних. Глава 1. Неравенства - номер 173, страница 63.

173 Докажите, что среднее квадратичное двух положительных чисел всегда не меньше среднего арифметического этих чисел.

Пусть даны два положительных числа $a$ и $b$, то есть $a > 0$ и $b > 0$.

Среднее квадратичное этих чисел (СК) определяется формулой:

$СК = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Среднее арифметическое этих чисел (СА) определяется формулой:

$СА = \frac{a + b}{2}$

Требуется доказать, что $СК \ge СА$, то есть:

$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a + b}{2}$

Так как $a$ и $b$ — положительные числа, обе части неравенства также положительны. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$\left(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\right)^2 \ge \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$

$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \frac{(a + b)^2}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot \frac{a^2 + b^2}{2} \ge 4 \cdot \frac{(a + b)^2}{4}$

$2(a^2 + b^2) \ge (a + b)^2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2a^2 + 2b^2 \ge a^2 + 2ab + b^2$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности чисел $a$ и $b$:

$(a - b)^2 \ge 0$

Полученное неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Так как мы пришли к истинному неравенству с помощью равносильных преобразований, то и исходное неравенство также является верным. Равенство достигается в том случае, когда $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$. Во всех остальных случаях ($a \ne b$) среднее квадратичное будет строго больше среднего арифметического.

Ответ: Утверждение доказано.