Номер 179, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Числа рациональные и иррациональные. Глава 1. Неравенства - номер 179, страница 64.

179 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}};$

б) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}};$

в) $3 - \sqrt{2} + \frac{5}{3-\sqrt{2}};$

г) $\sqrt{(3-4\sqrt{3})^2} - 2\sqrt{3}.$

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} $, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $ (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) $. Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $, получаем: $ (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2 $.
Теперь преобразуем числитель:
$ \sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{5}) - \sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (7 - \sqrt{35}) - (7 + \sqrt{35}) = 7 - \sqrt{35} - 7 - \sqrt{35} = -2\sqrt{35} $.
Таким образом, значение выражения равно $ \frac{-2\sqrt{35}}{2} = -\sqrt{35} $.
Число $ \sqrt{35} $ является иррациональным, так как 35 не является полным квадратом целого числа. Следовательно, $ -\sqrt{35} $ также является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} $.
Общий знаменатель, как и в предыдущем пункте, равен $ (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = 7 - 5 = 2 $.
Преобразуем числитель: $ (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 $.
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ и $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
$ (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 - 2\sqrt{35} + 5 = 12 - 2\sqrt{35} $.
$ (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12 + 2\sqrt{35} $.
Тогда числитель равен $ (12 - 2\sqrt{35}) - (12 + 2\sqrt{35}) = 12 - 2\sqrt{35} - 12 - 2\sqrt{35} = -4\sqrt{35} $.
Значение всего выражения: $ \frac{-4\sqrt{35}}{2} = -2\sqrt{35} $.
Это число является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

в) Упростим выражение $ 3 - \sqrt{2} + \frac{5}{3 - \sqrt{2}} $.
Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (3 + \sqrt{2}) $.
$ \frac{5}{3 - \sqrt{2}} = \frac{5(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \frac{15 + 5\sqrt{2}}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{15 + 5\sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7} $.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ 3 - \sqrt{2} + \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7} $.
Приведем все слагаемые к общему знаменателю 7:
$ \frac{7(3 - \sqrt{2})}{7} + \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7} = \frac{21 - 7\sqrt{2} + 15 + 5\sqrt{2}}{7} = \frac{(21+15) + (-7\sqrt{2} + 5\sqrt{2})}{7} = \frac{36 - 2\sqrt{2}}{7} $.
Полученное число $ \frac{36}{7} - \frac{2\sqrt{2}}{7} $ является иррациональным, так как представляет собой разность рационального и иррационального чисел.
Ответ: иррациональное.

г) Рассмотрим выражение $ \sqrt{(3 - 4\sqrt{3})^2} - 2\sqrt{3} $.
Используем свойство корня $ \sqrt{a^2} = |a| $.
$ \sqrt{(3 - 4\sqrt{3})^2} = |3 - 4\sqrt{3}| $.
Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $ 3 - 4\sqrt{3} $. Сравним числа 3 и $ 4\sqrt{3} $. Для этого сравним их квадраты:
$ 3^2 = 9 $.
$ (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 $.
Поскольку $ 9 < 48 $, то $ 3 < 4\sqrt{3} $, и, следовательно, выражение $ 3 - 4\sqrt{3} $ отрицательно.
Значит, $ |3 - 4\sqrt{3}| = -(3 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 3 $.
Подставим результат в исходное выражение:
$ (4\sqrt{3} - 3) - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3} = (4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - 3 = 2\sqrt{3} - 3 $.
Полученное число является разностью иррационального числа $ 2\sqrt{3} $ и рационального числа 3, поэтому оно иррационально.
Ответ: иррациональное.