Номер 181, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Числа рациональные и иррациональные. Глава 1. Неравенства - номер 181, страница 64.

181 Составьте какое-нибудь уравнение с рациональными коэффициентами, одним из корней которого является число:

а) $2\sqrt{3}$;

б) $2 + \sqrt{3}$;

в) $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

а) Чтобы составить уравнение с рациональными коэффициентами, одним из корней которого является число $2\sqrt{3}$, обозначим этот корень через $x$.

Запишем равенство: $x = 2\sqrt{3}$.

Чтобы избавиться от иррациональности (квадратного корня), необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

$x^2 = (2\sqrt{3})^2$

$x^2 = 4 \cdot 3$

$x^2 = 12$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $P(x) = 0$:

$x^2 - 12 = 0$

Коэффициенты этого уравнения: $1$ при $x^2$, $0$ при $x$ и свободный член $-12$. Все эти коэффициенты являются рациональными числами. Следовательно, это искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 12 = 0$

б) Пусть корень уравнения $x = 2 + \sqrt{3}$.

Для того, чтобы избавиться от иррациональности, сначала уединим слагаемое с корнем в одной части уравнения:

$x - 2 = \sqrt{3}$

Теперь возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

$(x - 2)^2 = (\sqrt{3})^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 3$

$x^2 - 4x + 4 = 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x + 4 - 3 = 0$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Коэффициенты этого уравнения (1, -4, 1) являются рациональными числами, поэтому это искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$

в) Пусть корень уравнения $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Так как в выражении содержатся два квадратных корня, для избавления от иррациональности потребуется дважды возводить уравнение в квадрат. Сначала уединим один из корней:

$x - \sqrt{2} = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$

$x^2 - 2\sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2 = 3$

$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 3$

Упростим уравнение и снова уединим слагаемое, содержащее корень:

$x^2 - 1 = 2\sqrt{2}x$

Теперь снова возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от оставшегося корня:

$(x^2 - 1)^2 = (2\sqrt{2}x)^2$

Раскроем скобки в обеих частях:

$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = 4 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot x^2$

$x^4 - 2x^2 + 1 = 4 \cdot 2 \cdot x^2$

$x^4 - 2x^2 + 1 = 8x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$x^4 - 2x^2 - 8x^2 + 1 = 0$

$x^4 - 10x^2 + 1 = 0$

Все коэффициенты полученного уравнения (1, -10, 1) являются рациональными. Таким образом, это искомое уравнение.

Ответ: $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$