Номер 187, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Решение неравенств и систем неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 187, страница 65.

187 При каких значениях x имеет смысл выражение:

a) $\frac{\sqrt{x - 4}}{2x - 16}$;

б) $\frac{\sqrt{5 - x}}{3x + 15}$;

в) $\frac{\sqrt{2x}}{x^2 + 1}$;

г) $\frac{\sqrt{-3x}}{x^2 - 1}$?

а) Выражение $\frac{\sqrt{x-4}}{2x-16}$ имеет смысл (определено), когда одновременно выполняются два условия:
1. Подынтегральное выражение неотрицательно, так как корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа: $x - 4 \ge 0$, что дает $x \ge 4$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю, так как на ноль делить нельзя: $2x - 16 \neq 0$, откуда $2x \neq 16$ и, следовательно, $x \neq 8$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен 4, и при этом не равен 8. В виде числового промежутка это записывается как объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in [4; 8) \cup (8; +\infty)$.

б) Выражение $\frac{\sqrt{5-x}}{3x+15}$ имеет смысл, когда одновременно выполняются два условия:
1. Подынтегральное выражение неотрицательно: $5 - x \ge 0$, что дает $x \le 5$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю: $3x + 15 \neq 0$, откуда $3x \neq -15$ и, следовательно, $x \neq -5$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ должен быть меньше или равен 5, и при этом не равен -5.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5]$.

в) Выражение $\frac{\sqrt{2x}}{x^2+1}$ имеет смысл, когда одновременно выполняются два условия:
1. Подынтегральное выражение неотрицательно: $2x \ge 0$, что дает $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю: $x^2 + 1 \neq 0$. Это условие выполняется для любого действительного значения $x$, так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), а значит $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$).
Таким образом, единственным ограничением является первое условие.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

г) Выражение $\sqrt{\frac{-3x}{x^2-1}}$ имеет смысл, когда подынтегральное выражение неотрицательно:
$\frac{-3x}{x^2-1} \ge 0$.
Чтобы решить это неравенство, можно умножить обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$\frac{3x}{x^2-1} \le 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя: $3x = 0 \implies x = 0$. Эта точка может входить в решение, так как неравенство нестрогое.
2. Найдем нули знаменателя: $x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0 \implies x = 1$ и $x = -1$. Эти точки не входят в решение, так как они обращают знаменатель в ноль.
Отметим точки -1, 0, 1 на числовой оси и определим знаки дроби $\frac{3x}{x^2-1}$ на полученных интервалах:
- Интервал $(-\infty; -1)$: знак (-).
- Интервал $(-1; 0)$: знак (+).
- Интервал $(0; 1)$: знак (-).
- Интервал $(1; +\infty)$: знак (+).
Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы, где знак "минус", а также точка, где выражение равно нулю.
Таким образом, решением являются интервалы $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$, причем точка $x=0$ включается в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [0; 1)$.