Страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

183 Упростите выражение:

а) $\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}$;

б) $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$;

в) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$;

г) $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$;

д) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$;

е) $\sqrt{4\sqrt{5} + 9} + \sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$.

Указание. б), в), д), е) Представьте подкоренное выражение в виде квадрата двучлена, например:

$11 - 4\sqrt{7} = 7 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + 4 = (\sqrt{7} - 2)^2$;

$8 + 2\sqrt{15} = 5 + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + 3 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$.

а) Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда $\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{5}$ и $2$. Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Значит, выражение $\sqrt{5} - 2$ положительно, и $|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.
Ответ: $\sqrt{5} - 2$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$, представим подкоренное выражение в виде квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 11$ и $2ab = 6\sqrt{2}$, откуда $ab = 3\sqrt{2}$. Подходят числа $a=3$ и $b=\sqrt{2}$, так как $3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$. Таким образом, $11 - 6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$. Получаем: $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 - \sqrt{2}|$. Так как $3 > \sqrt{2}$ (потому что $9 > 2$), разность $3 - \sqrt{2}$ положительна. Следовательно, $|3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2}$.
Ответ: $3 - \sqrt{2}$.

в) Для упрощения $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Нам нужно, чтобы $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 2\sqrt{10}$, то есть $ab = \sqrt{10}$. Подходят числа $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$, так как $(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2 = 7$. Значит, $7 + 2\sqrt{10} = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$. Выражение принимает вид: $\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{2}|$. Так как оба слагаемых положительны, их сумма тоже положительна, поэтому $|\sqrt{5} + \sqrt{2}| = \sqrt{5} + \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{2}$.

г) Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.
Первое слагаемое: $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}|$. Так как $1 < \sqrt{3}$ (потому что $1 < 3$), разность $1 - \sqrt{3}$ отрицательна. Значит, $|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$.
Второе слагаемое: $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$. Так как $2 > \sqrt{3}$ (потому что $4 > 3$), разность $2 - \sqrt{3}$ положительна. Значит, $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.
Складываем результаты: $(\sqrt{3} - 1) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 + 2 - \sqrt{3} = 1$.
Ответ: $1$.

д) Упростим каждое слагаемое, представив подкоренные выражения в виде квадратов двучленов.
Первое слагаемое: $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 4$ и $ab = \sqrt{3}$. Подходят $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Тогда $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$. Значит, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$.
Второе слагаемое: $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$. Аналогично, $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$. Значит, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1|$. Поскольку $\sqrt{3} > 1$, то $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Складываем результаты: $(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

е) Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt{4\sqrt{5} + 9} = \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$. Представим $9 + 4\sqrt{5}$ как квадрат суммы. $9 + 4\sqrt{5} = 9 + 2 \cdot 2\sqrt{5}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=9$ и $ab=2\sqrt{5}$. Подходят $a=\sqrt{5}$ и $b=2$. Тогда $(\sqrt{5})^2 + 2^2 = 5+4=9$. Значит, $9 + 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 2)^2$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} = \sqrt{5} + 2$.
Второе слагаемое: $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$. Представим $11 - 4\sqrt{7}$ как квадрат разности. $11 - 4\sqrt{7} = 11 - 2 \cdot 2\sqrt{7}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=11$ и $ab=2\sqrt{7}$. Подходят $a=\sqrt{7}$ и $b=2$. Тогда $(\sqrt{7})^2 + 2^2 = 7+4=11$. Значит, $11 - 4\sqrt{7} = (\sqrt{7} - 2)^2$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{7} - 2)^2} = |\sqrt{7} - 2|$. Так как $7>4$, то $\sqrt{7}>2$, поэтому $|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$.
Сумма упрощенных слагаемых: $(\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{7} - 2) = \sqrt{5} + 2 + \sqrt{7} - 2 = \sqrt{5} + \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{7}$.

184 a) При каких целых неотрицательных значениях x верно неравенство

$3x - \frac{9x + 8}{4} < \frac{1}{2}?$

б) При каких целых отрицательных значениях x верно неравенство

$x + \frac{1 - x}{3} \ge \frac{x - 12}{6}?$

а) При каких целых неотрицательных значениях x верно неравенство $3x - \frac{9x + 8}{4} < \frac{1}{2}$?

Сначала решим данное линейное неравенство. Для этого избавимся от знаменателей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, то есть на 4. Знак неравенства при этом не изменится, так как мы умножаем на положительное число.

$4 \cdot \left(3x - \frac{9x + 8}{4}\right) < 4 \cdot \frac{1}{2}$

$4 \cdot 3x - 4 \cdot \frac{9x + 8}{4} < 2$

$12x - (9x + 8) < 2$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные.

$12x - 9x - 8 < 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 8 < 2$

Перенесем число -8 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$3x < 2 + 8$

$3x < 10$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x < \frac{10}{3}$

Представим дробь $\frac{10}{3}$ в виде смешанного числа: $x < 3\frac{1}{3}$.

Теперь, согласно условию задачи, нам нужно найти все целые неотрицательные значения $x$, удовлетворяющие этому неравенству. Целые неотрицательные числа — это 0, 1, 2, 3, ... .

Выберем из этого ряда числа, которые меньше $3\frac{1}{3}$. Это числа 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

б) При каких целых отрицательных значениях x верно неравенство $x + \frac{1 - x}{3} \ge \frac{x - 12}{6}$?

Решим данное неравенство. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6.

$6 \cdot \left(x + \frac{1 - x}{3}\right) \ge 6 \cdot \left(\frac{x - 12}{6}\right)$

$6 \cdot x + 6 \cdot \frac{1 - x}{3} \ge x - 12$

$6x + 2(1 - x) \ge x - 12$

Раскроем скобки в левой части:

$6x + 2 - 2x \ge x - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x + 2 \ge x - 12$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе.

$4x - x \ge -12 - 2$

$3x \ge -14$

Разделим обе части на 3:

$x \ge -\frac{14}{3}$

Представим дробь $-\frac{14}{3}$ в виде смешанного числа: $x \ge -4\frac{2}{3}$.

По условию задачи, нам нужно найти все целые отрицательные значения $x$. Целые отрицательные числа — это ..., -4, -3, -2, -1.

Выберем из этого ряда числа, которые удовлетворяют условию $x \ge -4\frac{2}{3}$. Такими числами являются -4, -3, -2, -1.

Ответ: -4, -3, -2, -1.

185 a) $2(x - 1) \ge 4(x + 1) - 2(x + 3);$

б) $(6x + 2) - 3(x - 4) < 3x - 5;$

в) $6 - 4(x - 4) \le (x + 2) - 5(x - 4);$

г) $7(x - 3) - (3x - 5) \ge 4(6 + x).$

а) Решим неравенство $2(x - 1) \ge 4(x + 1) - 2(x + 3)$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$2 \cdot x - 2 \cdot 1 \ge 4 \cdot x + 4 \cdot 1 - (2 \cdot x + 2 \cdot 3)$
$2x - 2 \ge 4x + 4 - 2x - 6$
Теперь приведем подобные слагаемые в правой части:
$2x - 2 \ge (4x - 2x) + (4 - 6)$
$2x - 2 \ge 2x - 2$
Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$2x - 2x \ge -2 + 2$
$0 \ge 0$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое число).

б) Решим неравенство $(6x + 2) - 3(x - 4) < 3x - 5$.
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$6x + 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-4) < 3x - 5$
$6x + 2 - 3x + 12 < 3x - 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(6x - 3x) + (2 + 12) < 3x - 5$
$3x + 14 < 3x - 5$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$3x - 3x < -5 - 14$
$0 < -19$
Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых исходное неравенство было бы верным.
Ответ: Нет решений.

в) Решим неравенство $6 - 4(x - 4) \le (x + 2) - 5(x - 4)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$6 - 4x + 16 \le x + 2 - 5x + 20$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$(6 + 16) - 4x \le (x - 5x) + (2 + 20)$
$22 - 4x \le -4x + 22$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$-4x + 4x \le 22 - 22$
$0 \le 0$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое число).

г) Решим неравенство $7(x - 3) - (3x - 5) \ge 4(6 + x)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$7x - 21 - 3x + 5 \ge 24 + 4x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(7x - 3x) + (-21 + 5) \ge 24 + 4x$
$4x - 16 \ge 24 + 4x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$4x - 4x \ge 24 + 16$
$0 \ge 40$
Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых исходное неравенство было бы верным.
Ответ: Нет решений.

186 a) $(3 - \sqrt{7})(x - 1) \le 0;$

б) $(1 - \sqrt{2})(2x - 5) > 0;$

в) $\sqrt{5}x - 2\sqrt{3}x > 0;$

г) $3x - 2\sqrt{2}x < 0.$

a) Решим неравенство $(3 - \sqrt{7})(x - 1) \le 0$.

Сначала определим знак множителя $(3 - \sqrt{7})$. Для этого сравним числа $3$ и $\sqrt{7}$.

Так как $3 = \sqrt{9}$, а $9 > 7$, то $\sqrt{9} > \sqrt{7}$, следовательно $3 > \sqrt{7}$.

Это означает, что разность $(3 - \sqrt{7})$ является положительным числом.

Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $(3 - \sqrt{7})$, при этом знак неравенства не изменится:

$\frac{(3 - \sqrt{7})(x - 1)}{(3 - \sqrt{7})} \le \frac{0}{(3 - \sqrt{7})}$

$x - 1 \le 0$

Перенесем $1$ в правую часть:

$x \le 1$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б) Решим неравенство $(1 - \sqrt{2})(2x - 5) > 0$.

Определим знак множителя $(1 - \sqrt{2})$. Для этого сравним числа $1$ и $\sqrt{2}$.

Так как $1 = \sqrt{1}$, а $1 < 2$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2}$, следовательно $1 < \sqrt{2}$.

Это означает, что разность $(1 - \sqrt{2})$ является отрицательным числом.

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $(1 - \sqrt{2})$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{(1 - \sqrt{2})(2x - 5)}{(1 - \sqrt{2})} < \frac{0}{(1 - \sqrt{2})}$

$2x - 5 < 0$

Перенесем $5$ в правую часть:

$2x < 5$

Разделим обе части на $2$:

$x < \frac{5}{2}$

$x < 2,5$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 2,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2,5)$.

в) Решим неравенство $\sqrt{5}x - 2\sqrt{3}x > 0$.

Вынесем переменную $x$ за скобки:

$x(\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) > 0$

Определим знак выражения в скобках $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})$. Для этого сравним числа $\sqrt{5}$ и $2\sqrt{3}$.

Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Так как $5 < 12$, то $\sqrt{5} < \sqrt{12}$, то есть $\sqrt{5} < 2\sqrt{3}$.

Следовательно, выражение $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})$ является отрицательным числом.

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

г) Решим неравенство $3x - 2\sqrt{2}x < 0$.

Вынесем переменную $x$ за скобки:

$x(3 - 2\sqrt{2}) < 0$

Определим знак выражения в скобках $(3 - 2\sqrt{2})$. Для этого сравним числа $3$ и $2\sqrt{2}$.

Возведем оба числа в квадрат: $3^2 = 9$ и $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Так как $9 > 8$, то $3 > 2\sqrt{2}$.

Следовательно, выражение $(3 - 2\sqrt{2})$ является положительным числом.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(3 - 2\sqrt{2})$. Знак неравенства при этом не меняется:

$x < 0$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

187 При каких значениях x имеет смысл выражение:

a) $\frac{\sqrt{x - 4}}{2x - 16}$;

б) $\frac{\sqrt{5 - x}}{3x + 15}$;

в) $\frac{\sqrt{2x}}{x^2 + 1}$;

г) $\frac{\sqrt{-3x}}{x^2 - 1}$?

а) Выражение $\frac{\sqrt{x-4}}{2x-16}$ имеет смысл (определено), когда одновременно выполняются два условия:
1. Подынтегральное выражение неотрицательно, так как корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа: $x - 4 \ge 0$, что дает $x \ge 4$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю, так как на ноль делить нельзя: $2x - 16 \neq 0$, откуда $2x \neq 16$ и, следовательно, $x \neq 8$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен 4, и при этом не равен 8. В виде числового промежутка это записывается как объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in [4; 8) \cup (8; +\infty)$.

б) Выражение $\frac{\sqrt{5-x}}{3x+15}$ имеет смысл, когда одновременно выполняются два условия:
1. Подынтегральное выражение неотрицательно: $5 - x \ge 0$, что дает $x \le 5$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю: $3x + 15 \neq 0$, откуда $3x \neq -15$ и, следовательно, $x \neq -5$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ должен быть меньше или равен 5, и при этом не равен -5.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5]$.

в) Выражение $\frac{\sqrt{2x}}{x^2+1}$ имеет смысл, когда одновременно выполняются два условия:
1. Подынтегральное выражение неотрицательно: $2x \ge 0$, что дает $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю: $x^2 + 1 \neq 0$. Это условие выполняется для любого действительного значения $x$, так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), а значит $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$).
Таким образом, единственным ограничением является первое условие.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

г) Выражение $\sqrt{\frac{-3x}{x^2-1}}$ имеет смысл, когда подынтегральное выражение неотрицательно:
$\frac{-3x}{x^2-1} \ge 0$.
Чтобы решить это неравенство, можно умножить обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$\frac{3x}{x^2-1} \le 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя: $3x = 0 \implies x = 0$. Эта точка может входить в решение, так как неравенство нестрогое.
2. Найдем нули знаменателя: $x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0 \implies x = 1$ и $x = -1$. Эти точки не входят в решение, так как они обращают знаменатель в ноль.
Отметим точки -1, 0, 1 на числовой оси и определим знаки дроби $\frac{3x}{x^2-1}$ на полученных интервалах:
- Интервал $(-\infty; -1)$: знак (-).
- Интервал $(-1; 0)$: знак (+).
- Интервал $(0; 1)$: знак (-).
- Интервал $(1; +\infty)$: знак (+).
Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы, где знак "минус", а также точка, где выражение равно нулю.
Таким образом, решением являются интервалы $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$, причем точка $x=0$ включается в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [0; 1)$.