Страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

188 Дано неравенство $3x - 7 > 5x - a$, где $x$ — переменная, $a$ — некоторое число. При каком $a$ множеством решений неравенства является:

а) множество всех отрицательных чисел;

б) множество чисел, меньших 1;

в) множество чисел, меньших $-10$?

Сначала решим данное неравенство относительно переменной $x$, чтобы выразить множество его решений через параметр $a$.

Исходное неравенство:

$3x - 7 > 5x - a$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую часть неравенства:

$3x - 5x > 7 - a$

Упростим левую часть:

$-2x > 7 - a$

Теперь разделим обе части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{7 - a}{-2}$

Упростим выражение в правой части:

$x < \frac{a - 7}{2}$

Таким образом, множеством решений данного неравенства является интервал $(-\infty; \frac{a - 7}{2})$. Теперь мы можем найти значение $a$ для каждого из заданных условий.

а) множество всех отрицательных чисел

Множество всех отрицательных чисел — это множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x < 0$. Чтобы множество решений нашего неравенства $x < \frac{a - 7}{2}$ совпадало с этим множеством, необходимо, чтобы их правые части были равны.

$\frac{a - 7}{2} = 0$

Умножим обе части на 2:

$a - 7 = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = 7$

Проверка: при $a = 7$ решение неравенства $x < \frac{7 - 7}{2}$ есть $x < 0$.
Ответ: $a = 7$.

б) множество чисел, меньших 1

Данное условие означает, что решением является множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x < 1$. Сравнивая это с общим решением $x < \frac{a - 7}{2}$, мы должны приравнять правые части.

$\frac{a - 7}{2} = 1$

Умножим обе части на 2:

$a - 7 = 2$

Отсюда находим $a$:

$a = 9$

Проверка: при $a = 9$ решение неравенства $x < \frac{9 - 7}{2}$ есть $x < \frac{2}{2}$, то есть $x < 1$.
Ответ: $a = 9$.

в) множество чисел, меньших –10

Это условие означает, что решением является множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x < -10$. Снова приравниваем правую часть общего решения к этому значению.

$\frac{a - 7}{2} = -10$

Умножим обе части на 2:

$a - 7 = -20$

Отсюда находим $a$:

$a = -20 + 7$

$a = -13$

Проверка: при $a = -13$ решение неравенства $x < \frac{-13 - 7}{2}$ есть $x < \frac{-20}{2}$, то есть $x < -10$.
Ответ: $a = -13$.

189 Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} \frac{7x}{3} \ge \frac{4x}{5} \\ -3 \le x \le 3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{2x}{5} \ge \frac{3x}{2} \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} -9 < 5 + 2x < 5 \\ \frac{x+4}{2} < 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2(2x - 3) \ge 3x \\ -3 \le x - 2 \le 3 \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{7x}{3} \ge \frac{4x}{5} \\ -3 \le x \le 3 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ \frac{7x}{3} \ge \frac{4x}{5} $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \frac{7x}{3} - \frac{4x}{5} \ge 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$ \frac{5 \cdot 7x}{15} - \frac{3 \cdot 4x}{15} \ge 0 $

$ \frac{35x - 12x}{15} \ge 0 $

$ \frac{23x}{15} \ge 0 $

Умножим обе части на 15:

$ 23x \ge 0 $

Разделим обе части на 23:

$ x \ge 0 $

2. Второе неравенство уже задает интервал для $x$:

$ -3 \le x \le 3 $

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \ge 0$ и $-3 \le x \le 3$ одновременно.

Пересечением множеств $x \in [0, +\infty)$ и $x \in [-3, 3]$ является отрезок $[0, 3]$.

Ответ: $0 \le x \le 3$

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{2x}{5} \ge \frac{3x}{2} \\ -1 \le x \le 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ \frac{2x}{5} \ge \frac{3x}{2} $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \frac{2x}{5} - \frac{3x}{2} \ge 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$ \frac{2 \cdot 2x}{10} - \frac{5 \cdot 3x}{10} \ge 0 $

$ \frac{4x - 15x}{10} \ge 0 $

$ \frac{-11x}{10} \ge 0 $

Умножим обе части на 10:

$ -11x \ge 0 $

Разделим обе части на -11, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x \le 0 $

2. Второе неравенство задает интервал для $x$:

$ -1 \le x \le 1 $

3. Найдем пересечение решений: $x \le 0$ и $-1 \le x \le 1$.

Пересечением множеств $x \in (-\infty, 0]$ и $x \in [-1, 1]$ является отрезок $[-1, 0]$.

Ответ: $-1 \le x \le 0$

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} -9 < 5 + 2x < 5 \\ \frac{x+4}{2} < 3 \end{cases} $

1. Решим первое (двойное) неравенство:

$ -9 < 5 + 2x < 5 $

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$ -9 - 5 < 2x < 5 - 5 $

$ -14 < 2x < 0 $

Разделим все части на 2:

$ -7 < x < 0 $

2. Решим второе неравенство:

$ \frac{x+4}{2} < 3 $

Умножим обе части на 2:

$ x + 4 < 6 $

Вычтем 4 из обеих частей:

$ x < 2 $

3. Найдем пересечение решений: $-7 < x < 0$ и $x < 2$.

Пересечением множеств $x \in (-7, 0)$ и $x \in (-\infty, 2)$ является интервал $(-7, 0)$.

Ответ: $-7 < x < 0$

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x - 2(2x - 3) \ge 3x \\ -3 \le x - 2 \le 3 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ x - 2(2x - 3) \ge 3x $

Раскроем скобки:

$ x - 4x + 6 \ge 3x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ -3x + 6 \ge 3x $

Перенесем $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$ 6 \ge 3x + 3x $

$ 6 \ge 6x $

Разделим обе части на 6:

$ 1 \ge x $, или $ x \le 1 $

2. Решим второе (двойное) неравенство:

$ -3 \le x - 2 \le 3 $

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$ -3 + 2 \le x \le 3 + 2 $

$ -1 \le x \le 5 $

3. Найдем пересечение решений: $x \le 1$ и $-1 \le x \le 5$.

Пересечением множеств $x \in (-\infty, 1]$ и $x \in [-1, 5]$ является отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $-1 \le x \le 1$

190 Сколько целых решений имеет система неравенств:

а) $\begin{cases} x\sqrt{2} < \frac{\sqrt{18}}{2} \\ 1 - \frac{4 - 3x}{5} > 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{x+2}{3} < 0 \\ x + \sqrt{27} < \sqrt{12} \end{cases}$

a)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:

$x\sqrt{2} < \frac{\sqrt{18}}{2}$

Упростим выражение в правой части. Так как $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, неравенство принимает вид:

$x\sqrt{2} < \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2} > 0$, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{3}{2}$

$x < 1.5$

2. Второе неравенство:

$1 - \frac{4-3x}{5} > 0$

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5 \cdot \left(1 - \frac{4-3x}{5}\right) > 5 \cdot 0$

$5 - (4-3x) > 0$

Раскроем скобки:

$5 - 4 + 3x > 0$

$1 + 3x > 0$

$3x > -1$

$x > -\frac{1}{3}$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} x < 1.5 \\ x > -\frac{1}{3} \end{array} \right.$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $-\frac{1}{3} < x < 1.5$.

Нас интересуют целые решения. Целые числа, которые находятся в интервале $(-\frac{1}{3}; 1.5)$, это 0 и 1. Всего таких чисел два.

Ответ: 2.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:

$\frac{x}{4} - \frac{x+2}{3} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3x}{12} - \frac{4(x+2)}{12} < 0$

$\frac{3x - 4(x+2)}{12} < 0$

Умножим обе части на 12. Знак неравенства не изменится:

$3x - 4(x+2) < 0$

$3x - 4x - 8 < 0$

$-x - 8 < 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$-8 < x$ или $x > -8$

2. Второе неравенство:

$x + \sqrt{27} < \sqrt{12}$

Упростим корни: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ и $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Неравенство принимает вид:

$x + 3\sqrt{3} < 2\sqrt{3}$

Вычтем $3\sqrt{3}$ из обеих частей:

$x < 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$

$x < -\sqrt{3}$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} x > -8 \\ x < -\sqrt{3} \end{array} \right.$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $-8 < x < -\sqrt{3}$.

Чтобы найти целые решения, оценим значение $-\sqrt{3}$. Так как $1^2=1$ и $2^2=4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Более точно, $\sqrt{3} \approx 1.732$, значит $-\sqrt{3} \approx -1.732$.

Ищем целые числа $x$ в интервале $(-8; -1.732...)$. Такими числами являются: -7, -6, -5, -4, -3, -2. Всего их 6.

Ответ: 6.

191 При каких значениях $a$ уравнение $3(x + 2) = a - 4$ имеет:

а) положительный корень, меньший 10;

б) отрицательный корень, больший $-10$?

Для начала выразим $x$ из данного уравнения, чтобы найти его корень в зависимости от параметра $a$:
$3(x + 2) = a - 4$
$3x + 6 = a - 4$
$3x = a - 4 - 6$
$3x = a - 10$
$x = \frac{a - 10}{3}$

а) положительный корень, меньший 10;

Условие, что корень является положительным и меньшим 10, можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x < 10$.
Подставим в это неравенство найденное выражение для $x$:
$0 < \frac{a - 10}{3} < 10$
Теперь решим это неравенство относительно $a$. Сначала умножим все три части неравенства на 3 (знаки неравенства при этом не изменятся, так как 3 > 0):
$3 \cdot 0 < a - 10 < 3 \cdot 10$
$0 < a - 10 < 30$
Затем прибавим 10 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $a$:
$0 + 10 < a < 30 + 10$
$10 < a < 40$
Следовательно, данное условие выполняется, когда $a$ находится в интервале от 10 до 40.
Ответ: $a \in (10; 40)$.

б) отрицательный корень, больший -10?

Условие, что корень является отрицательным и большим -10, можно записать в виде двойного неравенства: $-10 < x < 0$.
Подставим в него наше выражение для $x$:
$-10 < \frac{a - 10}{3} < 0$
Решим это неравенство относительно $a$. Умножим все части на 3:
$3 \cdot (-10) < a - 10 < 3 \cdot 0$
$-30 < a - 10 < 0$
Теперь прибавим 10 ко всем частям:
$-30 + 10 < a < 0 + 10$
$-20 < a < 10$
Таким образом, данное условие выполняется, когда $a$ находится в интервале от -20 до 10.
Ответ: $a \in (-20; 10)$.

192 На чемпионате по прыжкам в воду порядок выступления спортсменов определяется жеребьёвкой. Среди десяти участников два российских спортсмена — Прыгунов и Ласточкин. Равновероятны ли события $A$ и $B$:

a) $A$: Прыгунов будет прыгать первым;

$B$: Ласточкин будет прыгать десятым;

б) $A$: Прыгунов будет прыгать в первой пятёрке;

$B$: Ласточкин будет прыгать во второй пятёрке;

в) $A$: Прыгунов будет прыгать раньше Ласточкина;

$B$: Ласточкин будет прыгать раньше Прыгунова?

Для решения задачи проанализируем вероятности событий A и B в каждом из трёх случаев. Всего в соревновании участвуют 10 спортсменов, и порядок выступления определяется случайной жеребьёвкой, поэтому все 10 мест для любого спортсмена равновероятны.

а) A: Прыгунов будет прыгать первым; B: Ласточкин будет прыгать десятым

Вероятность того, что конкретный спортсмен выступит под определённым номером, одинакова для любого спортсмена и любого номера. Общее число возможных мест для выступления — 10.

Для события A (Прыгунов будет прыгать первым) есть 1 благоприятный исход (первое место) из 10 возможных. Вероятность этого события:

$P(A) = \frac{1}{10}$

Для события B (Ласточкин будет прыгать десятым) также существует 1 благоприятный исход (десятое место) из 10 возможных. Вероятность этого события:

$P(B) = \frac{1}{10}$

Сравнивая вероятности, видим, что $P(A) = P(B)$. Следовательно, события A и B равновероятны.

Ответ: события равновероятны.

б) A: Прыгунов будет прыгать в первой пятёрке; B: Ласточкин будет прыгать во второй пятёрке

Первая пятёрка включает в себя 5 мест (с 1-го по 5-е). Вторая пятёрка также включает в себя 5 мест (с 6-го по 10-е).

Для события A (Прыгунов будет прыгать в первой пятёрке) благоприятными являются 5 исходов из 10 возможных. Вероятность этого события равна:

$P(A) = \frac{\text{число мест в первой пятёрке}}{\text{общее число мест}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Для события B (Ласточкин будет прыгать во второй пятёрке) также благоприятными являются 5 исходов из 10 возможных. Вероятность этого события равна:

$P(B) = \frac{\text{число мест во второй пятёрке}}{\text{общее число мест}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Поскольку $P(A) = P(B)$, события A и B являются равновероятными.

Ответ: события равновероятны.

в) A: Прыгунов будет прыгать раньше Ласточкина; B: Ласточкин будет прыгать раньше Прыгунова

Рассмотрим относительный порядок выступления только двух спортсменов: Прыгунова и Ласточкина. Поскольку жеребьёвка случайна, любой из них с равной вероятностью может оказаться на более ранней позиции, чем другой. Существует только два возможных исхода для их взаимного расположения: либо Прыгунов выступает раньше Ласточкина (событие A), либо Ласточкин выступает раньше Прыгунова (событие B).

Эти два события являются взаимоисключающими (не могут произойти одновременно) и исчерпывающими (одно из них обязательно произойдет, так как они не могут выступать под одним номером). В силу симметрии, присущей случайной жеребьёвке, вероятности этих событий равны.

Обозначим их вероятности как $P(A)$ и $P(B)$. Тогда:

$P(A) = P(B)$

Так как одно из событий обязательно произойдет, сумма их вероятностей равна 1:

$P(A) + P(B) = 1$

Подставляя первое равенство во второе, получаем $2 \times P(A) = 1$, откуда находим:

$P(A) = \frac{1}{2}$

Соответственно, $P(B) = \frac{1}{2}$.

Так как $P(A) = P(B)$, события равновероятны.

Ответ: события равновероятны.

193 a) В коробке 3 белые шашки и 5 чёрных. Одновременно наугад вынимают две шашки. Какова вероятность того, что будут вынуты две белые шашки?

б) В финальной части чемпионата по фигурному катанию выступают 5 пар, из них 2 пары из России. Порядок выступления пар определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что российским парам достанутся первый и второй стартовые номера?

а)

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов $N$. В коробке всего $3 + 5 = 8$ шашек. Общее число исходов — это количество способов выбрать 2 шашки из 8. Так как порядок выбора не важен, используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

Таким образом, существует 28 способов вынуть 2 шашки из 8.

2. Найдем число благоприятных исходов $M$. Благоприятный исход — это выбор двух белых шашек. В коробке 3 белые шашки. Число способов выбрать 2 белые шашки из 3 равно:

$M = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

Таким образом, существует 3 способа вынуть 2 белые шашки.

3. Теперь найдем искомую вероятность:

$P(\text{две белые}) = \frac{M}{N} = \frac{3}{28}$

Ответ: $\frac{3}{28}$

б)

Для решения этой задачи удобно рассмотреть события последовательно, используя теорему умножения вероятностей.

1. Всего в финале участвуют 5 пар. Нам нужно, чтобы на первое стартовое место попала пара из России. В соревновании участвуют 2 российские пары. Вероятность того, что на первое место по жребию попадёт российская пара, составляет:

$P_1 = \frac{2}{5}$

2. Предположим, что первое событие произошло, и на первом месте оказалась российская пара. Теперь для жеребьевки на второе место осталось 4 пары, среди которых одна — российская. Вероятность того, что на второе стартовое место также попадет российская пара (при условии, что на первом уже стоит российская пара), составляет:

$P_2 = \frac{1}{4}$

3. Чтобы найти вероятность того, что оба эти зависимые события произойдут, нужно перемножить их вероятности:

$P(\text{российские пары на 1-м и 2-м местах}) = P_1 \times P_2 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$