Страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

10. Решите двойное неравенство $2 < 5x - 3 < 7$.

Для решения двойного неравенства $2 < 5x - 3 < 7$ необходимо изолировать переменную $x$ в центральной части. Для этого выполним равносильные преобразования со всеми тремя частями неравенства.

1. Сначала прибавим 3 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от вычитания тройки в средней части:

$2 + 3 < 5x - 3 + 3 < 7 + 3$

После сложения получаем:

$5 < 5x < 10$

2. Теперь разделим все части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 5. Так как 5 - положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{5}{5} < \frac{5x}{5} < \frac{10}{5}$

После деления получаем окончательный результат:

$1 < x < 2$

Это означает, что решением являются все значения $x$, которые строго больше 1 и строго меньше 2. В виде интервала это записывается как $(1; 2)$.

Ответ: $1 < x < 2$

11 Докажите, что для любых чисел $x$ и $y$ $x(x + y) \ge y(x - y)$.

11

Для доказательства данного неравенства выполним равносильные преобразования. Начнем с исходного неравенства:

$x(x + y) \ge y(x - y)$

Раскроем скобки в обеих

12 Докажите, что для положительных чисел $a$ и $b$ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Для доказательства данного неравенства выполним ряд равносильных преобразований. Исходное неравенство:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

По условию, числа $a$ и $b$ являются положительными, то есть $a > 0$ и $b > 0$.

Перенесем 2 в левую часть неравенства, изменив знак:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \geq 0$

Приведем все члены в левой части к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ является их произведение $ab$.

$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{2 \cdot ab}{ab} \geq 0$

Выполним умножение в числителях и объединим дроби:

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \geq 0$

Так как $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также является положительным числом ($ab > 0$). Мы можем умножить обе части неравенства на положительное число $ab$, при этом знак неравенства не изменится. В результате мы получим неравенство, равносильное предыдущему:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Выражение в левой части является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом разности чисел $a$ и $b$:

$(a - b)^2 \geq 0$

Это неравенство является истинным для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Так как мы выполнили только равносильные преобразования, исходное неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ также является верным для всех положительных $a$ и $b$.

Равенство в данном неравенстве достигается в том случае, когда $(a - b)^2 = 0$, то есть когда $a - b = 0$, что эквивалентно $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно было сведено к очевидно верному неравенству $(a - b)^2 \geq 0$, которое справедливо для любых действительных чисел, включая положительные $a$ и $b$.

13 Масса молока в пакете равна 500 г с точностью до 10 г. Запишите это с помощью знака $«\pm»$ и с помощью двойного неравенства.

В условии задачи указано, что номинальная масса молока $m$ составляет 500 г, а точность (или абсолютная погрешность) измерения равна 10 г. Это означает, что реальная масса может отличаться от 500 г не более чем на 10 г.

Запись с помощью знака «±»

Чтобы записать значение с указанием его погрешности, используется знак «±». Запись имеет вид: (приближенное значение) ± (погрешность).

В данном случае, масса молока $m$ в граммах записывается как:
$m = 500 \pm 10$

Ответ: $500 \pm 10$ г.

Запись с помощью двойного неравенства

Двойное неравенство показывает диапазон, в котором находится истинное значение величины. Чтобы найти этот диапазон, нужно определить его нижнюю и верхнюю границы.

Нижняя граница — это номинальное значение минус погрешность:
$500 - 10 = 490$ г.

Верхняя граница — это номинальное значение плюс погрешность:
$500 + 10 = 510$ г.

Следовательно, масса молока $m$ больше или равна 490 г и меньше или равна 510 г. Это записывается в виде двойного неравенства:

$490 \le m \le 510$

Ответ: $490 \le m \le 510$.

14. Запишите промежуток $20 \le x \le 21$ с помощью знака «±».

Чтобы записать промежуток, заданный двойным неравенством $c \le x \le d$, с помощью знака «±», нужно представить его в виде $x = a \pm b$. Эта запись эквивалентна неравенству $a - b \le x \le a + b$.

Здесь $a$ — это центр (середина) промежутка, а $b$ — это максимальное отклонение от центра (радиус или полуширина промежутка).

Нам дан промежуток $20 \le x \le 21$.

1. Найдем центр промежутка $a$ как среднее арифметическое его концов:

$a = \frac{20 + 21}{2} = \frac{41}{2} = 20.5$

2. Найдем отклонение $b$. Его можно вычислить как разность между правым концом промежутка и его центром, или как половину длины всего промежутка:

$b = 21 - a = 21 - 20.5 = 0.5$

Либо:

$b = \frac{d - c}{2} = \frac{21 - 20}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

3. Теперь мы можем записать исходное неравенство, используя найденные значения $a$ и $b$:

$x = 20.5 \pm 0.5$

Эта запись означает, что значение $x$ находится в промежутке от $20.5 - 0.5$ до $20.5 + 0.5$, то есть от $20$ до $21$, что полностью соответствует исходному условию $20 \le x \le 21$.

Ответ: $x = 20.5 \pm 0.5$

1 Какое из утверждений неверно?

1) $-7 \in \mathbf{R}$

2) $-7 \in \mathbf{Z}$

3) $-7 \in \mathbf{Q}$

4) $-7 \in \mathbf{N}$

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, необходимо проанализировать каждое из них, основываясь на определениях числовых множеств.

• Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ — это числа, используемые при счете: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ — это натуральные числа, им противоположные и ноль: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, а $n \in \mathbb{N}$.
• Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ — это все рациональные и иррациональные числа.

Рассмотрим каждое утверждение:

1) $-7 \in \mathbb{R}$

Утверждение означает, что число -7 принадлежит множеству действительных чисел. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ включает в себя все целые числа. Так как -7 является целым числом, оно также является действительным. Следовательно, это утверждение верно.

2) $-7 \in \mathbb{Z}$

Утверждение означает, что число -7 принадлежит множеству целых чисел. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ по определению содержит отрицательные целые числа. Число -7 является отрицательным целым числом. Следовательно, это утверждение верно.

3) $-7 \in \mathbb{Q}$

Утверждение означает, что число -7 принадлежит множеству рациональных чисел. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. В данном случае, $-7 = \frac{-7}{1}$. Следовательно, это утверждение верно.

4) $-7 \in \mathbb{N}$

Утверждение означает, что число -7 принадлежит множеству натуральных чисел. Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ состоит только из положительных целых чисел, используемых для счета $\{1, 2, 3, ...\}$. Число -7 является отрицательным и не входит в это множество. Следовательно, это утверждение неверно.

Таким образом, единственным неверным утверждением является четвертое.

Ответ: 4.

2 В каком случае правильно указано соотношение между множествами $N, Z$ и $Q$?

1) $Z \subset Q \subset N$

2) $Q \subset Z \subset N$

3) $N \subset Q \subset Z$

4) $N \subset Z \subset Q$

Для того чтобы определить правильное соотношение, необходимо вспомнить определения данных числовых множеств:

• $N$ — это множество натуральных чисел, используемых для счета предметов: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ — это множество целых чисел, которое включает в себя натуральные числа, им противоположные числа и ноль: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• $Q$ — это множество рациональных чисел, то есть чисел, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$).

Проанализируем отношения между этими множествами:

• Любое натуральное число является и целым числом. Например, число 7 является и натуральным, и целым. Однако существуют целые числа, которые не являются натуральными (например, -3 или 0). Следовательно, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: $N \subset Z$.
• Любое целое число является и рациональным числом, так как любое целое $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $z = \frac{z}{1}$. Однако существуют рациональные числа, которые не являются целыми (например, $\frac{1}{2}$). Следовательно, множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: $Z \subset Q$.

Объединяя эти два факта, мы получаем правильную цепочку вложенности: $N \subset Z \subset Q$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

1) $Z \subset Q \subset N$

Это утверждение неверно. Вторая его часть, $Q \subset N$, означает, что любое рациональное число является натуральным, что ложно. Например, число $\frac{1}{2}$ принадлежит множеству $Q$, но не принадлежит множеству $N$.
Ответ: Неверно.

2) $Q \subset Z \subset N$

Это утверждение неверно. Первая его часть, $Q \subset Z$, означает, что любое рациональное число является целым, что ложно. Например, число $\frac{1}{2}$ принадлежит множеству $Q$, но не принадлежит множеству $Z$.
Ответ: Неверно.

3) $N \subset Q \subset Z$

Это утверждение неверно. Вторая его часть, $Q \subset Z$, ложна по той же причине, что и в предыдущем пункте: существуют рациональные числа (например, $\frac{1}{2}$), которые не являются целыми.
Ответ: Неверно.

4) $N \subset Z \subset Q$

Это утверждение верно. Как было показано в первоначальном анализе, множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества целых чисел $Z$ ($N \subset Z$), а множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$ ($Z \subset Q$). Таким образом, вся цепочка вложений является правильной.
Ответ: Верно.

3 Какому из данных промежутков принадлежит число $ \frac{2}{9} $?

1) $ [0,1; 0,2] $

2) $ [0,2; 0,3] $

3) $ [0,3; 0,4] $

4) $ [0,4; 0,5] $

Для того чтобы определить, какому из данных промежутков принадлежит число $\frac{2}{9}$, необходимо перевести эту обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель 2 на знаменатель 9.

$2 \div 9 = 0,2222...$

Получили бесконечную периодическую десятичную дробь, которую можно записать как $0,(2)$. Теперь необходимо сравнить это число с границами каждого из предложенных промежутков.

1) [0,1; 0,2]

Проверим, выполняется ли двойное неравенство $0,1 \le 0,222... \le 0,2$. Так как $0,222... > 0,2$, это неравенство неверно. Число не принадлежит данному промежутку.

2) [0,2; 0,3]

Проверим, выполняется ли двойное неравенство $0,2 \le 0,222... \le 0,3$. Это неравенство верно, так как $0,222...$ действительно находится между $0,2$ и $0,3$. Следовательно, число $\frac{2}{9}$ принадлежит этому промежутку.

3) [0,3; 0,4]

Проверим, выполняется ли двойное неравенство $0,3 \le 0,222... \le 0,4$. Так как $0,222... < 0,3$, это неравенство неверно. Число не принадлежит данному промежутку.

4) [0,4; 0,5]

Проверим, выполняется ли двойное неравенство $0,4 \le 0,222... \le 0,5$. Так как $0,222... < 0,4$, это неравенство неверно. Число не принадлежит данному промежутку.

Таким образом, число $\frac{2}{9}$ принадлежит промежутку [0,2; 0,3], что соответствует второму варианту ответа.

Ответ: 2

4 Укажите наибольшее из чисел 0,4; 0,6; $\frac{3}{7}$; $\frac{5}{9}$.

Для того чтобы найти наибольшее из чисел $0,4$; $0,6$; $\frac{3}{7}$; $\frac{5}{9}$, необходимо привести их к единому виду. Удобнее всего представить все числа в виде десятичных дробей.

Два числа уже даны в виде десятичных дробей: $0,4$ и $0,6$.

Переведем обыкновенную дробь $\frac{3}{7}$ в десятичную. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель: $3 \div 7 = 0,42857...$ Для целей сравнения достаточно округлить до тысячных: $\frac{3}{7} \approx 0,429$.

Теперь переведем обыкновенную дробь $\frac{5}{9}$ в десятичную, также разделив числитель на знаменатель: $5 \div 9 = 0,555... = 0,(5)$. Для целей сравнения: $\frac{5}{9} \approx 0,556$.

Теперь мы имеем четыре числа в десятичном представлении: $0,4$; $0,6$; $0,42857...$; $0,555...$

Сравним эти числа. Сравнение десятичных дробей начинается с целой части, а затем по разрядам дробной части (десятые, сотые, тысячные и т.д.).

• $0,4$
• $0,6$
• $0,428...$
• $0,555...$

Сравнивая разряд десятых, мы видим, что у числа $0,6$ он наибольший (6). У остальных чисел десятые равны 4, 4 и 5. Таким образом, $0,6$ является самым большим числом из представленного набора.

Расположим числа в порядке возрастания для наглядности: $0,4 < \frac{3}{7} < \frac{5}{9} < 0,6$.

Ответ: $0,6$.

5 На координатной прямой отмечены числа $a, b$ и $c$.

Какое из приведённых утверждений неверно?

1) $ab < 0$

2) $abc < 0$

3) $a + b < 0$

4) $a + c < 0$

Для решения задачи проанализируем информацию, данную на координатной прямой. На ней отмечены три числа: a, b и c.

• Число a находится слева от нуля, следовательно, оно отрицательное: $a < 0$.
• Числа b и c находятся справа от нуля, следовательно, они положительные: $b > 0$ и $c > 0$.

Кроме того, по расположению точек можно судить об их абсолютных величинах (модулях), то есть о расстоянии до нуля:

• Расстояние от a до 0 больше, чем от b до 0. Это значит, что $|a| > |b|$.
• Расстояние от c до 0 больше, чем от a до 0. Это значит, что $|c| > |a|$.

Теперь проверим каждое из четырёх утверждений, чтобы найти неверное.

1) $ab < 0$

Проверяем произведение отрицательного числа ($a$) и положительного ($b$). Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательное. Таким образом, неравенство $ab < 0$ выполняется. Утверждение верно.

2) $abc < 0$

Проверяем произведение одного отрицательного числа ($a$) и двух положительных ($b$ и $c$). Произведение двух положительных чисел ($b \cdot c$) положительно. При умножении этого положительного результата на отрицательное число ($a$) итог будет отрицательным. Таким образом, неравенство $abc < 0$ выполняется. Утверждение верно.

3) $a + b < 0$

Проверяем сумму отрицательного числа ($a$) и положительного ($b$). Знак суммы зависит от того, чей модуль больше. Мы установили, что $|a| > |b|$. Это означает, что отрицательное слагаемое "перевешивает" положительное, и сумма будет отрицательной. Таким образом, неравенство $a + b < 0$ выполняется. Утверждение верно.

4) $a + c < 0$

Проверяем сумму отрицательного числа ($a$) и положительного ($c$). Мы установили, что $|c| > |a|$. Это означает, что положительное слагаемое "перевешивает" отрицательное, и сумма будет положительной. Таким образом, должно выполняться неравенство $a + c > 0$. Предложенное утверждение $a + c < 0$ является ложным. Утверждение неверно.

Таким образом, единственное неверное утверждение — это утверждение под номером 4.

Ответ: 4

6 При каком $x$ значении выражения $\sqrt{3-2x}$ является числом рациональным?

1) при $x = 6$

2) при $x = 0$

3) при $x = -2$

4) при $x = -3$

Чтобы определить, при каком значении $x$ выражение $\sqrt{3-2x}$ является рациональным числом, необходимо проверить каждое из предложенных значений. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Для того чтобы квадратный корень из целого числа был рациональным, подкоренное выражение должно быть полным квадратом, то есть квадратом целого числа.

1) при x = 6

Подставляем $x=6$ в выражение:$\sqrt{3 - 2 \cdot 6} = \sqrt{3 - 12} = \sqrt{-9}$.Так как подкоренное выражение отрицательно, значение выражения не является действительным числом, а следовательно, и не рациональным.

2) при x = 0

Подставляем $x=0$ в выражение:$\sqrt{3 - 2 \cdot 0} = \sqrt{3 - 0} = \sqrt{3}$.Число 3 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{3}$ — иррациональное число.

3) при x = -2

Подставляем $x=-2$ в выражение:$\sqrt{3 - 2 \cdot (-2)} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}$.Число 7 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{7}$ — иррациональное число.

4) при x = -3

Подставляем $x=-3$ в выражение:$\sqrt{3 - 2 \cdot (-3)} = \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$.Число 3 является целым, а значит и рациональным числом (поскольку любое целое число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$).

Таким образом, единственное значение $x$ из предложенных, при котором значение выражения является рациональным числом, — это $x=-3$, что соответствует четвертому варианту.

Ответ: 4) при x = -3.

7 Одна из точек M, N, P и Q, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\sqrt{34}$. Какая это точка?

4 M 5 N P 6 Q 7

Чтобы определить, какая из точек M, N, P или Q соответствует числу $\sqrt{34}$, нужно оценить значение этого числа и найти его примерное положение на координатной прямой.

Для этого сравним число 34 с квадратами целых чисел, между которыми оно может находиться. Ближайшие целые числа, которые видны на прямой рядом с возможным положением точки, — это 5 и 6.Возведём их в квадрат:$5^2 = 25$$6^2 = 36$

Поскольку подкоренное выражение 34 находится между 25 и 36 ($25 < 34 < 36$), то и само число $\sqrt{34}$ будет находиться между корнями из этих чисел:$\sqrt{25} < \sqrt{34} < \sqrt{36}$$5 < \sqrt{34} < 6$

Из этого следует, что точка, соответствующая числу $\sqrt{34}$, находится на отрезке между 5 и 6. На рисунке в этом промежутке расположены точки N и P. Точки M (между 4 и 5) и Q (между 6 и 7) не подходят.

Теперь нужно выбрать между точками N и P. Для этого определим, к какой из границ отрезка [5; 6] число $\sqrt{34}$ находится ближе. Сравним, насколько число 34 удалено от 25 и 36:$34 - 25 = 9$$36 - 34 = 2$Поскольку 34 намного ближе к 36, чем к 25, то и $\sqrt{34}$ будет намного ближе к 6, чем к 5.

Для более точной проверки сравним $\sqrt{34}$ с серединой отрезка [5; 6], то есть с числом 5,5. Возведём 5,5 в квадрат:$5,5^2 = 30,25$Так как $34 > 30,25$, то и $\sqrt{34} > \sqrt{30,25}$, а значит $\sqrt{34} > 5,5$.

Итак, число $\sqrt{34}$ больше 5,5 и расположено в правой половине отрезка [5; 6], то есть на интервале (5,5; 6). Глядя на координатную прямую, мы видим, что точка P находится в этом интервале (ближе к 6), в то время как точка N находится в левой половине отрезка (ближе к 5).Следовательно, числу $\sqrt{34}$ соответствует точка P.

Ответ: P.

8 Какое из неравенств является верным при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$?

1) $b - a > 0$

2) $b - a > 1$

3) $a - b > -3$

4) $a - b > 2$

Для решения задачи проанализируем каждое из предложенных неравенств, используя исходное условие $a > b$.

Исходное неравенство $a > b$ можно преобразовать. Если вычесть $b$ из обеих частей, получим $a - b > 0$. Это означает, что разность $a - b$ всегда является положительным числом. Если же вычесть $a$ из обеих частей, получим $0 > b - a$, или $b - a < 0$. Это означает, что разность $b - a$ всегда является отрицательным числом.

1) $b - a > 0$
Как мы показали выше, из условия $a > b$ следует, что $b - a < 0$. Неравенство $b - a > 0$ утверждает, что отрицательное число больше нуля, что является ложным утверждением. Например, если $a = 5$ и $b = 3$, то $a > b$ верно. При этом $b - a = 3 - 5 = -2$. Неравенство $-2 > 0$ ложно.
Ответ: данное неравенство неверно.

2) $b - a > 1$
Мы установили, что разность $b - a$ всегда отрицательна. Отрицательное число не может быть больше положительного числа 1. Следовательно, это неравенство также всегда ложно. Например, если $a = 5$ и $b = 3$, то $b - a = -2$. Неравенство $-2 > 1$ ложно.
Ответ: данное неравенство неверно.

3) $a - b > -3$
Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ является положительным числом ($a - b > 0$). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Так как $-3$ — отрицательное число, то неравенство $a - b > -3$ будет выполняться для любых $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$.
Ответ: данное неравенство верно.

4) $a - b > 2$
Мы знаем, что $a - b$ — положительное число, но это не гарантирует, что оно будет больше 2. Можно подобрать такие значения $a$ и $b$, для которых это неравенство не выполняется. Например, пусть $a = 1$ и $b = 0$. Условие $a > b$ выполняется ($1 > 0$), но $a - b = 1 - 0 = 1$. Неравенство $1 > 2$ ложно. Следовательно, это неравенство не является верным при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: данное неравенство неверно.

Таким образом, единственным неравенством, которое верно при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$, является неравенство под номером 3.

Ответ: 3